高2015级一诊考试试卷
数 学（文史类）
本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。
3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上．
1.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，集合B＝{x||x|≥2},则 ( )
A . {0} B. {0，1}
C. A＝{0，2} D. A＝{0，1，2}
2．设复数z= （a∈R, i为虚数单位），若z为纯虚数，则a=（ ）
A． －1 B．0 C． 1 D．2
3.为了了解小学生近视情况，决定随机从同一个学校二年级到四年级的学生中抽取60名学生检测视力，其中二年级共有学生2400人，三年级共有学生2000人，四年级共有学生1600人，则应从三年级学生中抽取的学生人数为（ ）
A.24 B.20 C.16 D.18
4.若函数 为偶函数， 时， 单调递增， ，则 的大小为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知三棱锥的三视图如题（5）图所示，则它的体积为（ ）
A. B.
C. D.
6.执行如题（6）图所示程序框图，则输出的 的值为（ ）
A.21 B.25
C.45 D.93
7. 满足约束条件 ,若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.已知 是直线 上一动点， 是圆 的一条切线， 是切点，若 长度最小值为2，则 的值为（ ）
A.3 B. C. D.2
9.若方程 ， 的根分别为 ， ，则 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
10．用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，
若 ， ， ，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合 ，则 =（ ）
A. 1 B.2 C.3 D. 4
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卡相应位置上．
11. “ ”是“幂函数 在 上单调递减”的 条件.
12. 在正项等比数列 中， ，则 .
13. 要得到函数 的图像，需将函数 的图像向右平移至少 个单位（其中 ），则 .
14. 已知向量 ，若 ，则 的最小值为 .
15. 平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 的图象恰好通过 个格点，则称函数 为 阶格点函数． 下列函数：
① ；② ；③ ； ④ ；
⑤ ，其中是一阶格点函数的有 ． （填上所有满足题意的函数的序号）
三．解答题(本大题共6小题，共75分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.
16.（本小题满分13分）
在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(Ⅰ) 求等比数列 的通项公式；
(Ⅱ) 若数列 满足 ，求数列 的前n项和 的最大值.
17. （本小题满分13分）
某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温 （°C）与该小卖部的这种饮料销量 （杯），得到如下数据：
日 期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日
平均气温 （°C） 9 10 12 11 8
销量 （杯） 23 25 30 26 21
（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．
附：线性回归方程 中， ，其中 ， 为样本平均值．
18.（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域.
19．（本小题满分12分）
如图一，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，如图二.
(Ⅰ)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(Ⅱ)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．
20. (本小题满分12分）
椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）当 的面积为 时，求直线的方程．
21.（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的极值；
（Ⅱ）当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，求数a的取值范围．
高2015级一诊数学（文史类）试题
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1～5 BCBDA 6～10 CADBC
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 充分不必要； 12. 5； 13. ； 14. 8 ； 15. ②④.
三、 解答题（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分13分）
(Ⅰ)设数列 的公比为q，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，则
所以 ，解得 或 (舍去) ………………………5分
又 ，所以数列 的通项公式 …………………………………7分
(Ⅱ) ……………………………………………9分
则 ， ，故数列 是首项为9，公差为－2的等差数列
所以 ………………………11分
所以当 时， 的最大值为25 …………………………………………13分
17. （本小题满分13分）
（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，
所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），
（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15），共有10种．
事件A包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．
所以 为所求 ……………………… 5分
（Ⅱ）由数据，求得 ，
由公式，求得 ，
所以y关于x的线性回归方程为 ……………………… 10分
（Ⅲ）当x=7时，
所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯 ………………………13分
18. （本小题满分13分）
解：（1）
……………………4分
……………………5分
由
所以 函数 图象的对称轴方程 ……………………7分
（2）因为 ，
所以 ，即 时， 取最小值 ……………………10分
，即 时， 取最大值1 ……………………12分
所以函数 在区间 上的值域为 ……………………13分
19. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)因为折起前AD是BC边上的高
所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB …………………………3分
又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，因为AD 平面ABD
所以平面ABD⊥平面BDC …………………………6分
(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA
因为DB＝DA＝DC＝1
所以AB＝BC＝CA＝2 ……………9分
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝ ×1×1＝
S△ABC＝ × × × ＝
所以三棱锥D－ABC的表面积S＝ ×3＋ ＝ …………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为椭圆 过点 ，所以 ①，又因为离心率为 ，所以 ，所以 ②，解①②得
所以椭圆的方程为： ……… 4分
（Ⅱ）①当直线的倾斜角为 时，
，不合题意 ……… 6分
②当直线的倾斜角不为 时，设直线方程
代入 得： ……… 7分
设 ，则
所以直线方程为： 或 ……… 12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当 时，
由 解得 ；由 解得
故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减
所以当 时，函数 取得极大值 ……………………4分
（Ⅱ）因 图象上的点在 所表示的平面区域内
即当 时，不等式 恒成立，即 恒成立
设 （ ），只需 即可……………………6分
由
（ⅰ）当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递减故 成立 ……………………8分
（ⅱ）当 时，由
令 ，得 或
①若 ，即 时，在区间 上， ，函数 在 上单调递增函数 在 上无最大值，不满足条件
②若 ，即 时，函数 在 上单调递减，在区间 上单调递增，同样 在 上无最大值，不满足条件 ……………………10分
（ⅲ）当 时，由 ，因 ，故
则函数 在 上单调递减，故 成立．
综上，数 的取值范围是 …………………… 12分
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