闵行区2014学年第一学期期末考试八校联考
高三年级 数学 学科 试卷答案（文、理科）
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．
1. 方程 的解 .
2．不等式 的解集为 ,则 的范围为 .
3．已知 ， 为 的共轭复数，若 （ 是虚 数单位），则
4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).
5. 已知 的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则
6.已知将函数 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位,可得到函数 的图象,则 .
7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为________．
8.已知过点 的直线 的一个法向量为 ，则 1
9. 若对任意实数 ,都有 ,则实数 的取值范围是
10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形 ，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为 ，则最小正方形的边长为__________．
11. 设 是抛物线 上的一点, 是抛物线上的任意两点, 分别是 的斜率,若 ,则 的坐标为 .
12．（理） 求函数 的最小值
（文）求函数 的最小值
13.已知 是平面上两个互相垂直的单位向量，且 ,则 的最大值为 5
14（理）.已知函数 任取 记函数 在区间 上的最大值为 最小值为 则函数 的值域为
14.（文）已知公差为 等差数列 满足 ,且 是 的等比中项。记 ,则对任意的正整数 均有 ,则公差 的取值范围是
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．
15.已知数列 ， “ ”是“ ”成立的（ A ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
16．某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人．为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（ D ）
(A) 20． (B) 18． (C) 15． (D) 10．
17. 函数 则函数 是（ A）
（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数
18. （理）若曲线 在顶点 的角 的内部, 、 分别是曲线 上相异的任意两点，且 ，我们把满足条件的最小角 叫做曲线 相对点 的“确界角”。已知 为坐标原点，曲线 的方程为 ，那么它相对点 的“确界角”等于（ B ）
（A） （B） （C） （D）
（文）已知 是椭圆 上任意一点, 是线段 的中点,则 有( D )
(A ) 没有最大值,也没有最小值 (B) 有最大值,没有最小值
(C) 有最小值,没有最大值 (D) 有最大值和最小值
三、解答题
19、（本题满分12分，第一小题满分5分，第二小题满分7分）
已知正方体 ， ， 为棱 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）求四面体 的体积.
解：（1）由 知,
就是异面直线 与 所成角. （2分）
连接 ，在 中， ，
所以 .
即异面直线 与 所成的角为 ； （5分）
（利用空间向量同样给分）
（2）算出 的面积 （7分）
到平面 的距离就是三棱锥的高， . （9分）
该四面体 的体积 . （12分）
20、（本题满分14分，第一小题满分9分，第二小题满分5分）
如图，一个水轮的半径为 ，水轮圆心 距离水面 ，已知水轮每分钟转动 圈，
如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间。
（1）将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数，求其解析式；
（2）求点 第一次到达最高点时所需要的时间。
解：（1）如图建立直角坐标系，设角 是以 为始边， 为终边的角， 每分钟内所转过的角为 ， （3分）
得 ， （5分）
当 时， ,
得 ，即 ， （8分）
故所求的函数关系式为 （9分）
（2）令 ，得 ， （11分）
取 ，得 ，故点 第一次到达最高点大约需要 秒 （14分）
21、（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）
已知 ， ，（ ， ）．函数 定义为：对每个给定的实数 ，
（1）若 对所有实数 都成立，求 的取值范围；
（2）设 ．当 时，若对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
解：（1）“ 对所有实数都成立”等价于“ 恒成立”， （1分）
，即 恒成立，， （3分）
，所以 ，， （6分）
的取值范围是 ．， （7分）
（2） 当 时，
对任意 ，存在 ，使得 ，， （9分）
， （10分）
，当 时， ， （12分）
由 或 或 ， （14分）
22、（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）
（理）如图已知椭圆 ： 的左、右两个焦点分别为 、 ，设 ，若 为正三角形且周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知垂直于 轴的直线交椭圆 于不同的两点 ，且 分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线 与 交于点 ，求点 的轨迹方程；
（3）在 的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，设原点到直线 的距离为 ，求 的取值范围.
解：（1）由题设得 （2分）
解得： ，
故 的方程为 . （4分）
（2）证明：
① （5分）
直线 的方程为 ② （6分）
①×②，得 ③
，
代入③得 ，即 ， （8分）
因为是不同的两点 两点所以
所以点 的轨迹方程为双曲线 上 （9分）
（3）设直线 （10分）
结合第（2）问的结论 ，整理得： （12分）
（14分）
且
所以 的取值范围是 （16分）
（文）如图已知椭圆 ： 的左、右两个焦点分别为 、 ，设 ，若 为正三角形且周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知垂直于 轴的直线交椭圆 于不同的两点 ，且 分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线 与 交于点 ，求证：点 在双曲线 上；
（3）在 的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，设原点到直线 的距离为 ，求 的取值范围.
解：（1）由题设得 （2分）
解得： ，
故 的方程为 . （4分）
（2）证明：
① （5分）
直线 的方程为 ② （6分）
①×②，得 ③
，
代入③得 ，即 ， （8分）
因为点 是直线 与 的交点，所以
即点 在双曲线 上 （9分）
（3）设直线 （10分）
结合第（2）问的结论 ，整理得： （12分）
（14分）
且
所以 的取值范围是 （16分）
23、（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分7分，第三小题满分7分）
（理）已知递增的等差数列 的首项 ，且 、 、 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设数列 对任意 ，都有 成立，求 的值．
（3）若 ，求证：数列 中的任意一项总可以表示成其他两项之积．
解：（1）∵ 是递增的等差数列，设公差为
、 、 成等比数列，∴ （2分）
由 及 得
∴ （4分）
（2）∵ ， 对 都成立
当 时， 得 （5分）
当 时，由 ①，及 ②
①－②得 ，得 （8分）
∴ （9分）
∴ （11分）
（3）对于给定的 ，若存在 ，使得 （12分）
∵ ，只需 ， （14分）
即 ，即 （15分）
即 ， 取 ，则 （17分）
∴对数列 中的任意一项 ，都存在 和
使得 （18分）
(文)将各项均为正数的数列 排成如图所示的三角形数阵(第 行有 个数,同一行下标小的排在左边). 表示数阵中第 行第1列的数.
已知数列 为等比数列,且从第3行开始,各行均构成公差为 的等差数列, , .
(1)求数阵中第 行第 列 的数 (用 表示)；
(2) 试问 处在数阵中第几行第几列？
(3)试问这个数列中是否有 这个数？有求出具体位置，没有说明理由.
解:(1)由已知可得: …2分
解得: ， …4分
(2)由 ,…6分
,则 …8分
知 为数阵中第 行第 列的数. …10分
(3)假设 为数阵中第 行第 列的数.由第 行最小的数为 ,最大的数为 , （12分）
知 ,…14分
当 时, ;…16分
当 时,
于是,不等式整数解.从而, 不在该数阵中. …18分
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