眉山市高中2015届第一次诊断性考试
数 学（文史类） 2015.01
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5. 考试结束，将答题卡上交.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合 ，则 =
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条
直线确定的平面也两两垂直；
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条
直线一定平行；
3．若 为实数，则下列命题中正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4．若 ，则
A．12 B．24 C．30 D．48
5．阅读右侧程序框图，如果输出 ，那么在空白
矩形框中应填入的语句为
A. B. C. D.
6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是
A．4+26 B．4+6 C．4+22 D．4+2
7．已知向量 是与单位向量 夹角为 的任意向量，则对任意的正实数 ， 的最小值是
A．0 B． C． D．1
8．下列命题正确的是
①“ ”是 “ ”的必要不充分条件；
②函数 的对称中心是 （ ）；
③“ ”的否定是“ ”；
④设常数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ，
则 .
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
9．函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则 可以是
A. B.
C. D.
10．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”；已知 在 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.
11．若 ，则复数
12．已知 、 满足约束条件 ，则 的最小值是
13．已知幂函数 的图象过点 ,则 =
14．有两个等差数列2，6，10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为
15．下列命题中
①函数 在定义域内为单调递减函数；
②函数 的最小值为 ；
③已知定义在 上周期为4的函数 满足 ，则 一定为偶函数；
④已知函数 ，则 是 有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数 ，若 ，则 .
其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.
三、解答题: 本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分)
在 中，角 的对边分别是 ，若 。
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 的值。
17．（本小题满分12分）
某学校举行元旦晚会，组委会招募了12名男志愿者和18名
女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图
(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高
个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
（Ⅰ ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中
共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
（Ⅱ ）若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．
18．（本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列 满足： ，且 是 的等差中项.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求使 成立的正整数 的最小值.
19．（本题满分12分）
如图，圆O为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA BC，点M是线段PA的中点．
（Ⅰ）求证: BC PB；
（Ⅱ）设PA AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P－MBC的
体积；
（Ⅲ）在 ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？
请证明你的结论.
20．（本题满分13分）
已知函数 为常数．
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若 在区间 上的最大值为 ，求 的值；
（Ⅲ）当 时，试推断方程 = 是否有实数解．
21．（本题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）讨论 的单调性；
（Ⅲ）设 有两个极值点 ， ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值．
眉山市高中2015届第一次诊断性考试
数学（文史类） 参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D B C A A C D B D
二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15.
2+i -6
1472 ③⑤
三、解答题：
16、解（1）∵ ，由正弦定理得： ，
∴
∵ ，∴ ∴ ， 又
∴ ； ………………………………………………………………………………… 6分
（2）方法一：∵ ， 的面积为 ，∴ ∴ ……8分
，即 ， …………………………………………… 9分
， …………………………………………………………… 10分
∴ . …………………………………………12分
方法二：
………………………………12分
17、解 (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，
所以抽取的5人中，“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．
“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝710. ………………………………………6分
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有2名女志愿者身高为180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，
身高相差5 cm以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为410＝25. …………………………………………………12分
18、解（1）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，以题意有：
代入 ，得
∴ ……………………………………………………………………… 3分
解之得： …………………………………………………………… 5分
又∵ 单调递增，∴
∴ ………………………………………………………………………………… 6分
(2) …………………………………………………………… 7分
∴ ①
∴ ②
∴②-①得：
= …………………………………………………………………………9分
由 得 ，∴ >52.
又当 时， ＜52
当 时， ﹥52
故使 成立的正整数 的最小值为5 ………………………………12分
19、
（Ⅰ）证明：如图，因为，AC是圆O的直径，所以BC⊥AB 1分
因为，BC PA，又PA、AB 平面PAB，且PA AB=A 2分
所以，BC 平面PAB，又PB 平面PAB 3分
所以，BC PB 4分
（Ⅱ）如图，在Rt ABC中，AC=2，AB=1
所以，BC= ，因此， 6分
因为，PA BC，PA AC，所以PA 平面ABC
所以， 8分
（Ⅲ）如图，取AB得中点D，连接OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O、D外）上任意一点即可，理由如下： 9分
因为，M、O、D分别是PA、AC、AB的中点
所以，MD∥PB,MO∥PC
因为，MD 平面PBC，PB 平面PBC
所以，MD∥平面PBC 10分
同理可得，MO∥平面PBC
因为，MD、MO 平面MDO，MD MO=M
所以，平面MDO∥平面PBC 11分
因为，MN 平面MDO
故，MN∥平面PBC． 12分
20、解：（Ⅰ）由已知知道函数 的定义域为 1分
当 时， ，所以 2分
当 时， ；当 时，
所以， 的单调增区间为 ，减区间为 ． 4分
（Ⅱ）因为， ，令 解得 5分
由 解得 ，由 解得
从而 的单调增区间为 ，减区间为 6分
所以，
解得， ． 8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当 时， ，
所以， ≥1 9分
令 ，则
当 时， ；当 时，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减
所以， 11分
所以， ，即
所以，方程 = 没有实数根． 13分
21、解：（Ⅰ）当 时， ，则
令 1分
则 的关系如下：
增
减
增
3分
所以，当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极小值为 ．…4分
（Ⅱ）∵ ，∴ …5分
① 当 时， ，且仅当 时 ，所以 在R是增函数 6分
② 当 时， 有两个根
当 时，得 ，所以 的单独增区间为：
；
当 时，得 ，所以 的单独减区间为：
． 8分
（Ⅲ）由题设知， ， 是 的两个根，∴ ，且
所以
9分
同理，
所以，直线 的解析式为 11分
设直线 与 轴的交点为 ，则 ，解得 …12分
代入 得
13分
因为 在 轴上，所以
解得， 或 或 ． 14分
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