泸州市高2012级第二次教学质量检测
数 学（理工类）
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至4页.共150分.考试时间120分钟. 第一部分的答案涂在机读卡上，第二部分的答案写在答题卡上.
第一部分（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在机读卡上.
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把机题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上.
3．本部分共12个题，每小题5分共60分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个选
项是符合题目要求.
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．计算 的值等于
A． B． C． D．
3．函数 的图象可能是
4．下列命题中，真命题是
A． ， B． ，
C．“ ”是“ ”的充要条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
5． 执行如图所示的程序框图，输出S的值是
A．3 B．－6
C．10 D．－15
6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
7． 不等式组 的解集记为D，下列四个命题中正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产 千件需另投入成本为 ，当年产量不足
80千件时， (万元)；当年产量不小于80千件时， (万元)．每
件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生
产中所获年利润的最大值是
A．900万元 B．950万元 C．1000万元 D．1150万元
9． 已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻
该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是
A．2－ B．1－ C．2－ D．1－
10．已知函数 其中 ，若对任意的非零实数 ，存在
唯一的非零实数 ( )，使得 成立，则k的最大值为
A． B． C． D．
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项:
1．用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试题卷上无效.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
2．本卷共11个小题，共100分.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上
11．如果复数 （i是虚数单位），则复数 的虚部为 ．
12．已知数列 为等差数列, 为其前n项和，若 ， ，则其公差为_____．
13．在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1⊥平面ABC，M，N分别是
A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则直线BM与直线AN所成角的
余弦值为 .
14．已知 的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，重心为G（三角形中
三边中线的交点），若 ，则 ．
15． 在平面上取定一点O，从O出发引一条射线Ox，再取定一个长度单位及计算角度的正方向（取逆时针方向为正），就称建立了一个极坐标系，这样，平面上任一点P的位置可用有序数对 确定，其中 表示线段OP的长度，θ表示从Ox到OP的角度．在极坐标系下，给出下列命题：
（1）平面上的点 与 重合；
（2）方程 和方程 分别都表示一条直线；
（3）动点A在曲线 上，则点A与点O的最短距离为2；
（4）已知两点 ， ，动点C在曲线 上，则 面积的最大值为 ．
其中正确命题的序号为 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)：
甲组 乙组
9 0 9
2 1 5
8
7 4 2 4
已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18.
甲组 乙组
9 0 9
2 1 5
8
7 4 2 4
（Ⅰ）求 的值，并用统计知识分析两组学生成绩的优劣；
（Ⅱ）从两组学生中任意抽取3名，记抽到甲组的学生人数为X，求X的分布列和期望.
17．（本题满分12分）
在锐角 中，角A,B,C所对的边分别为 ，向量 ， ，
且 ．
（Ⅰ） 求角 的大小；
（Ⅱ）求函数 的值域．
18．（本题满分12分）
已知函数 为奇函数，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域;
（Ⅱ）当 时，关于 的不等式 有解，求 的取值范围．
19．（本题满分12分）
已知数列 ，满足 ， ，若 ．
（Ⅰ）求 ，并证明数列 是等比数列；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前n项和 ．
20．（本题满分13分）
如图，在多面体 中，侧面 底面 ，四边形 是
矩形， ， ， ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）当二面角 的正切值为2时，求 的值．
21．（本题满分14分）
已知函数 , ．其中 是自然对数的底数.
（Ⅰ）求经过点 与曲线 相切的直线方程；
（Ⅱ）若函数 ，求证：当 时，函数 无零点；
（Ⅲ）已知正数m满足：存在 ，使得 成立．试比较
的大小，并证明你的结论．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C B A C B B
二、填空题
11．－1； 12． ； 13． ； 14． ； 15. (1)(4) .
三、解答题
16．解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9,12,10+x,24,27.
乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24.
因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18，
所以 ， 2分
, 4分
因为甲组数据的平均数为 ， 5分
乙组数据的平均数是 ， 6分
则甲组学生成绩稍好些； 7分
（Ⅱ） 的取值为0、1、2、3.
， 8分
， 9分
， 10分
， 11分
所以X的分布列为
0 1 2 3
P
EX=0
∴X的期望为 12分
17．解：(Ⅰ) ∵ ，
∴ ， 1分
由正弦定理得： ， 2分
∵ ， 3分
∴ ， 5分
∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ； 6分
（Ⅱ） ，
， 7分
， 8分
， 9分
， 10分
11分
∵ ， 是锐角三角形，
∴ ，∴ ，
∴函数 的值域为 ． 12分
18． 解：(Ⅰ)由 为奇函数得： ，
即 , 2分
所以 ，解得 ， 4分
经检验符合题意，故 , 5分
所以 的定义域是 ； 6分
（Ⅱ）不等式 等价于 ， 7分
即 在 有解， 8分
故只需 ， 9分
因为 ，所以 ， 10分
函数 ， 11分
所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 . 12分
19．解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ， 1分
∴ ， 2分
∴ ； 3分
∵ ， 5分
故数列 是首项为1，公比为 的等比数列； 6分
（Ⅱ）由（I）知： ，且 ， 7分
， ①
，② 8分
①-②得： ， 9分
， 10分
所以 ． 11分
故
. 12分
20．解法一：(Ⅰ) 取 的中点D，连接CD、 ，因为 ， ，
所以 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形， 1分
又 是矩形，∴ ， 2分
因为侧面 底面 ， ，
∴ 底面 ，
∴ ， 3分
因为点D是 的中点， ，
∴ ， 4分
又 ，∴ 平面 ， 5分
∴ ； 6分
（Ⅱ）过点C作 于点E, 过点E作 于点F, 连接 ， 7分
由(Ⅰ)知： 平面 ， 平面 ,
∴平面 ⊥平面 ，且交线为 ，
平面 ，即 ， 8分
所以 平面CEF， 则
所以 为二面角 的平面角， 9分
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ， 10分
∵ ，又因 ， ,
∴ , 11分
二面角 的正切值为2,
∴ ,∴ , 12分
解之得： ，所以 的值为 ． 13分
解法二：(Ⅰ) 过点 在平面 内作 ,
因为侧面 底面 ，
所以 侧面 ，
所以 ， ， 2分
因为 是矩形，所以 ， 3分
以 为原点，射线 ， , 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ， ， ． 4分
因为 , ，
又 ， 5分
所以 ，即 ; 6分
（Ⅱ） 设平面 的一个法向量为 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
则 ，取 ， 8分
设平面 的一个法向量为 ，所以 ， ，
因为 ， ，
则 ，取 ， 10分
∵二面角 的正切值为2,
∴二面角 的余弦值为 , 即 ， 11分
∴ ， 12分
解得： ，所以 的值为 ． 13分
21． 解：（Ⅰ）由 得 ，
设过点A的直线与曲线 相切于点 ，
所以切线斜率为 ，
切线方程为 ， 1分
因为点 在切线上，所以 ， 2分
解之得： ，或
当 时， 且 ，故直线方程为 ， 3分
当 时， 且 ，故直线方程为 ; 4分
（Ⅱ）因为 ，
由 得， ， 5分
设 ，则 ， 6分
当 时， ，当 时，
所以 在 单调递减， 单调递增， 7分
又 ，
所以当 时，函数 无零点； 8分
（Ⅲ） ，则 ，当 时 ，
∴ 在 上单调递增， 9分
令 ， ，
∵ ，∴ ，即 在 上单调递减， 10分
∵存在 ，使得 ，
∴ ，即 ， 11分
∵ ， 12分
设 ，
则 ， 13分
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
因此 至多有两个零点，而 ，
∴当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ． 14分
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