泸州市高2012级第二次教学质量检测
数 学（文史类）
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至4页.共150分.考试时间120分钟. 第一部分的答案涂在机读卡上，第二部分的答案写在答题卡上.
第一部分（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在机读卡上.
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把机题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上.
3．本部分共12个题，每小题5分共60分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个选
项是符合题目要求.
1． 已知集合 是正整数集， ，则
A． B． C． D．
2． 计算 的值等于
A． B． C． D．
3． 函数 的图象可能是
4． “ ” 是“ ”成立的
A．必要但不充分条件 B．充要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分但不必要条件
5． 执行如图所示的程序框图，输出S的值是
A．3 B．－6
C．10 D．－15
6. 设 表示两条直线， 表示两个平面，下列命题中正确的是
A． ，则
B． ，则
C． ，则
D． ，则
7． 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不超过10分钟的概
率为
A． B． C． D．
8． 不等式组 的解集记为D，下列命题中正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产 千件该产品需另投入成本为 ，当年产量不足80千件时， (万元)；当年产量不小于80千件时， (万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是
A．1150万元 B． 1000万元 C．950万元 D．900万元
10．已知函数 其中 ，若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ( )，使得 成立，则k的最大值为
A．-1 B． C．-3 D．-4
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项:
1．用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试题卷上无效.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
2．本卷共11个小题，共100分.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上
11． 如果复数 （i是虚数单位），则复数 的虚部为 ．
12． 已知数列 为等差数列, 为其前n项和，若 ， ，则其
公差为_____．
13． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 .
14．已知 三内角A,B,C所对的边分别为 ，重心为G（三角形中三边中线
的交点），若 ，则 ．
15． 在平面上取定一点O，从O出发引一条射线Ox，再取定一个长度单位及计算角度的正方向（取逆时针方向为正），就称建立了一个极坐标系，这样，平面上任一点P的位置可用有序数对 确定，其中 表示线段OP的长度，θ表示从Ox到OP的角度．在极坐标系下，给出下列命题：
（1）平面上的点 与 重合；
（2）方程 和方程 分别都表示一条直线；
（3）动点A在曲线 上，则点A与点O的最短距离为2；
（4）已知两点 ， ，动点C在曲线 上，则 面积的最大值为 ．
其中正确命题的序号为 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).
甲组 乙组
9 0 9
2 1 5
8
7 4 2 4
已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18.
（Ⅰ）求 的值，并用统计知识分析两组学生成绩的优劣；
（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率.
17．（本题满分12分）
在 中，角A,B,C所对的边分别为 ，向量 ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求函数 的值域．
18. （本题满分12分）
已知函数 为奇函数，函数 .
（Ⅰ）求函数 的定义域;
（Ⅱ）当 时，关于 的不等式 有解，求 的取值范围.
19． （本题满分12分）
已知数列 ，满足 ， ，若 ．
（Ⅰ）求 ，并证明数列 是等比数列；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前n项和 ．
20. （本题满分13分）
如图，在多面体 中，侧面 底面 ，四边形
是矩形， ， ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，且 =120°,求多面体 的体积.
21．（本题满分14分）
已知函数 , ．其中 是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 ，求证：当 时，函数 无零点；
（Ⅲ）已知正数m满足：存在 使得 成立，且 ，
求m的取值范围．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C B A C B B
二、填空题
11．－1； 12． ； 13． ； 14． ； 15．（1）（4）.
三、解答题
16．解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9,12,10+x,24,27.
乙组五名学生的成绩为9，15，10+y,18，24.
因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18
所以 2分
； 4分
因为甲组数据的平均数为 ， 5分
乙组数据的平均数是 ， 6分
则甲组学生成绩稍好些； 7分
（Ⅱ）成绩不低于10分且不超过20分的学生中共有5名， 8分
从中任意抽取3名共有10种不同的抽法， 10分
恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法， 11分
所以概率为 . 12分
17．解：(Ⅰ) ∵ ，
∴ ， 1分
由正弦定理得： ， 2分
∵ ， 3分
∴ ， 4分
∴ ， 5分
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ； 6分
（Ⅱ） ，
， 7分
， 8分
， 9分
，
10分
∵ ，∴ ， ，
∴ ， 11分
∴函数 的值域为 ． 12分
18．解：（Ⅰ）由 为奇函数得 ， 1分
即 , 2分
所以 ，解得 ， 4分
经检验符合题意，故 , 5分
所以 的定义域是 ； 6分
（Ⅱ）不等式 等价于 ， 7分
即 在 有解， 8分
故只需 , 10分
函数 在 单调递增， 11分
所以 ，
所以 的取值范围是 . 12分
19．解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ， 1分
∴ ， 2分
∴ ； 3分
∵ ， 5分
故数列 是首项为3，公比为2的等比数列； 6分
（Ⅱ）由（I）知： ，且 ， 7分
令 ， ①
② 8分
①-②得： 9分
10分
所以 ． 11分
故
. 12分
20. 证明：（Ⅰ）取 的中点D，连接CD、 ，因为 ， ，
所以 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形， 1分
又 是矩形，∴ ， 2分
因为侧面 底面 ， ，
∴ 底面 ，
∴ ， 3分
因为点D是 的中点， ，
∴ ， 4分
又 ，∴ 平面 ， 5分
∴ ； 6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知： ，且 ，
∵ ， ， 7分
∴平面 平面 ， 8分
∴多面体 是三棱柱， 9分
又 底面 ，
∵ ，
∴ , 10分
∴三棱柱 的体积 ， 11分
∵ 平面 ，
∴四棱锥 的体积 ， 12分
∴多面体 的体积为 . 13分
21解：（Ⅰ）由 得 ， 1分
因点 在曲线上，
所以切线斜率为 ， 2分
切线方程为 ，故直线方程为 ; 3分
（Ⅱ）因为 ，
由 得， ， 4分
设 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 单调递减， 单调递增， 5分
又 ， 6分
所以当 时，函数 无零点； 7分
（Ⅲ） ，则 ，当 时 ，
∴ 在 上单调递增， 9分
令 ， ，
∵ ，∴ ，即 在 上单调递减， 9分
∵存在 ，使得 ，
∴ ，即 ， 10分
∵ ，所以 ，
即 ，设 ， 11分
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减， 12分
而 ， 13分
所以使 的 满足 ；
故符合条件的的 满足 . 14分
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