试卷类型：A
肇庆市中小学教学质量评估
2015届高中毕业班第二次统一检测题
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：锥体的体积公式 ，其中S为锥体的底面积， 为锥体的高.
一组数据 的标准差 ，其中 表示这组数据的平均数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设 为虚数单位，则复数 =
A． B． C． D．
2．已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则A∩B的元素个数为
A．无数个 B．3 C．2 D．1
3．已知向量 ．若 为实数， ，则
A． B． C．1 D．2
4．若 是真命题， 是假命题，则
A． 是真命题 B． 是假命题 C． 是真命题 D． 是真命题
5．已知等差数列{ }， ，则此数列的前11项的和
A．44 B．33 C．22 D．11
6．下列函数为偶函数的是( )
A． B． C． D．
7．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
8．设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知 ， 是 的导函数，即 ，
，…， ， ，则
A． B． C． D．
10．集合 由满足：对任意 时，都有 的函数 组成．对于两个函数 ，以下关系成立的是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11．在 中，若 ，则 ▲ .
12．若 在 不是单调函数，则 的范围是 ▲ .
13．已知函数 ， ，则 的最小值是 ▲ .
（ ）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离为 ▲ .
15．（几何证明选讲选做题）如图， 是圆 的切线， 是圆 的割线，若 ， ， ，则圆 的半径 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知向量 互相平行，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）求 的最小正周期和单调递增区间.
17．（本小题满分12分）
贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：
车站 怀集站 广宁站 肇庆东站 三水南站 佛山西站 广州南站
满意度得分 70 76 72 70 72 x
已知6个站的平均得分为75分.
（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；
（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直， ， ， ，BC=6.
（1）证明：平面ADC平面ADB；
（2）求B到平面ADC的距离.
19．（本小题满分14分）
已知在数列 中， ， ， .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（）设数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（本小题满分14分）
已知函数 （ ）．
（1）若 时，求函数 的值域；
（2）若函数 的最小值是1，求实数 的值.
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，求 在 上的最小值，
并证明 .
肇庆市2015届高中毕业班第二次统测
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C D D A B A
二、填空题
11． 12． 13． 14． 3 15．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）因为 与 互相平行，则 ， （3分）
又 ，所以 ，所以 . （6分）
（2）由 ，得最小正周期 （8分）
由 ，得 （11分）
所以 的单调递增区间是 （12分）
17．（本小题满分12分）
解：（1）由题意，得 ，解得 . （2分）
（5分）
（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有 （怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站，佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共10种， （8分）
这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站.
设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种， （10分）
则 （12分）
18．（本小题满分14分）
（1）证明：因为 ，
所以 . （3分）
又 ，所以 . （4分）
又 ，且 ，
所以 . （5分）
又 ，所以 .（6分）
（2）在 中， ，得 ，（7分）
在等腰 中， ，得 . （8分）
由（1）知 ，所以 ， （9分）
在 中， ， ，得 ，（10分）
又 ，设 到面 的距离为 ，
由 ， （12分）
得 ， （13分）
解得 ，即B到平面ADC的距离 . （14分）
19．（本小题满分14分）
解：（1）方法一：
由 ，得 ， （2分）
两式相减，得 ，即 ， （4分）
所以数列 是等差数列. （5分）
由 ，得 ，所以 ， （6分）
故 . （8分）
方法二：
将 两边同除以 ，得 ，（3分）
即 . （4分）
所以 （5分）
所以 （6分）
因为 ，所以数列 是等差数列. （8分）
（2）因为 ，（11分）
所以
（ ） （14分）
20．（本小题满分14分）
解：（1） （ ） （1分）
设 ，得 （ ）. （2分）
当 时， （ ）. （3分）
所以 ， . （5分）
所以 ， ，故函数 的值域为[ ， ]． （6分）
（2）由（1） （ ） （7分）
①当 时， ， （8分）
令 ，得 ，不符合舍去； （9分）
②当 时， ， （10分）
令 ，得 ，或 ，不符合舍去； （11分）
③当 时， ， （12分）
令 ，得 ，不符合舍去. （13分）
综上所述，实数 的值为 ． （14分）
21．（本小题满分14分）
解：（1） 的定义域为 . （1分）
（3分）
当 时， 在 上恒成立，所以 的单调递增区间是 ，无单调递减区间. （5分）
当 时，由 得 ，由 得 ，所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， （7分）
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增，所以 在 上的最小值为 . （9分）
所以 （ ） （10分）
所以 ，即 （ ）. （12分）
所以
（14分）
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