高2015级一诊考试试卷
数 学（理工农医类）
本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。
3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上.
1．设集合 则 （ ）
A．{5} B．{3}
C．{2，3，5} D．{1，3，4，5}
2．已知等差数列 中， ，记 ，则 ( )
A．52 B．56
C．68 D．78
3．抛物线 的焦点到直线 的距离是 ( )
A. B.2 C. D.1
4．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．－3 B．－12
C. 2 D．13
6. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（ ）
A．C C．C A B．C A D．3C
7． 满足约束条件 ,若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8．已知函数 的值为（ ）
A．－4 B．2
C．0 D．－2
9． （A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ ）
A． 一定是奇函数 B． 一定是偶函数
C． 一定是奇函数 D． 一定是偶函数
10.已知O是△ABC的外心，AB = 6，AC = 10，若 ，且 ，则△ABC的面积为（ ）
A． 24 B．
C．18或 D． 24或
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卷相应的位置上，其中11～13是必做题，14～16是选做题.
（一）必做题（11～13题）
11．若复数 是纯虚数，则实数a＝ ．
12. 设双曲线的两个焦点分别为 ，若双曲线上存在点 满足 ，则双曲线的离心率等于 ．
13．已知函数f(x)＝x2＋ex－12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 ．
（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）
14.(选修4-1：平面几何选讲)
如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．
15.(选修4-4：极坐标与参数方程)
在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ－π6＝1的距离是________．
16.(选修4-5：不等式选讲)
已知关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|≤a＋1b1a＋b对任意正实数a、b恒成立，则实数x的取值范围是 .
三．解答题 (本大题共6小题，共75分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解答写在答题卷的指定区域内.
17．(本题满分13分)
首届重庆三峡银行 长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，单局比赛张超获胜的概率为 ，夏易正获胜的概率为 ，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：
（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；
（2）令 为本场比赛的局数．求 的概率分布和数学期望．
18．(本题满分13分)
等差数列 的前 项和为 ，已知 为整数，且在前 项和中 最大.
（1）求 的通项公式；
（2）设 .
① 求证： ； ② 求数列 的前 项和 .
19．(本题满分13分)
函数 ，当 时， .
(1)求 的值；
(2)解不等式 ．
20．(本题满分12分)
已知函数 .
(1)若函数 的图像关于直线 对称，求 的最小值；
(2)若函数 在 上有零点，求实数 的取值范围.
21．(本题满分12分)
如图，椭圆长轴端点为 , 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点, ，且斜率为 的直线 与椭圆交于不同的两点, 这两点在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：
是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
22．(本题满分12分)
设函数 有两个极值点 ,且 .
(1) 求实数 的取值范围，并讨论函数 的单调性；
(2) 若对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围．
高2015级一诊理科数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1～5 BADAC 6～10 BBCDD
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
（一）必做题（11～13题）
11． ； 12． ； 13．(－∞，e)；
（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）14． 4 ； 15．1； 16． －32，52.
三．解答题：(本大题共6小题，共75分)
17. (本题满分13分)
解：(1)以张超3胜1负而结束比赛,则张超第4局必胜而前3局必有1局败.
∴所求概率为 …………………5分
(2) ξ的所有取值为3,4,5 …………………6分
P(ξ=3)=
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
∴ξ的分布列为：
3 4 5
P
…………………11分
∴Eξ=3× +4× +5× = …………………13分
18. (本题满分13分)
解：（1）由 为整数知，等差数列 的公差 为整数 ………1分
又 ，故 ，即 …………………3分
解得 …………………4分
因此 …………………5分
数列 的通项公式为 …………………………6分
（2）①由题意知 ， ………………………8分
数列 是单调递减数列， 的最大项为 ，所以 …………9分
② ①
②
①-②得
…………………11分
…………………13分
19. (本题满分13分)
解：(1)由 得
∴
∵
∴ …………………4分
∴ 或
∵ 而 时
∴ ∴ …………………7分
(2)由(1)知 在 上为减函数 …………………8分
由 得
∴ …………………11分
∴不等式的解集为 …………………13分
20. (本题满分12分)
解：(1)
……… 3分
，
又 的最小值为 …………………6分
(2)∵函数 在 上有零点
∴方程 在 上有解，
∵ ， ∴ …………………8分
∴ …………………10分
则 ………………… 12分
21. (本题满分12分)
解：（1）设椭圆方程为
∵ 即
∴ (1) ……………2分
由题意知,直线 的方程为 ，对于 当 时
由已知得,点 在椭圆上 ∴ (2) ……………4分
由(1)(2)得 ∴
故椭圆方程为 ……………………6分
（2）假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为 的垂心，则
设 ，∵ ，故 ………………………7分
于是设直线 为 ，由 得
( )……………………8分
∴
∵ 又
得 即
∴
化简得 解得 或 ……………………10分
经检验 不符合条件,故舍去, 符合条件………………………11分
则直线 的方程为: ……………………………12分
22. (本题满分12分)
解:(1)由 可得
令 ,则其对称轴为 ,故由题意可知 是方程 的两个均大于 的不相等的实数根,其充要条件为
解得 ……………………4分
可知 ,其中 ,故
①当 时, ,即 在区间 上单调递增
②当 时, ,即 在区间 上单调递减
③当 时, ,即 在区间 上单调递增………7分
(2)由(1)可知 在区间 上的最小值为
又由于 ,因此 .又由
可得 ,从而
设 ,其中
则
由 知: , ,故 ,故 在 上单调递增
所以,
所以,实数 的取值范围为 ……………………………12分
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