滕州市第一中学2015届高三1月期末通练
数学（文）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 ，那么
(A) (B) (C) (D)
（2） 是虚数单位，若 ，则
(A) (B) (C) (D)
（3）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为 ，则判断框内的条件应为
(A) (B)
(C) (D)
（4）若“﹁p∨q”是假命题，则
(A) p是假命题 (B) ﹁q是假命题
(C) p∨q是假命题 (D) p∧q是假命题
（5）已知向量 ，则“ ”是“ ”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（6）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
(A) (B) (C) (D)
（7）过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点，若 ，则 的中点到 轴的距离等于
(A) (B) (C) (D)
（8）函数 的图象（部分）大致是
(A) (B) (C) (D)
（9）过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相交于点 ．若以 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过 两点（ 为坐标原点），则双曲线 的方程为中学联盟8
(A) (B) (C) (D)
（10）己知定义在 上的函数 的导函数为 ，满足 ， ， ，则不等式 的解集为
(A) (B) (C) (D)
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）在等差数列 中， ， ，则 ________.
（12）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，若 ，则角B等于 .
（13）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都相切，则该圆的标准方程是________.
（14）设 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 ,则 的最小值为_________.
（15）给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.对于三次函数 ，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是 的对称中心.给定函数 ，请你根据上面结论，计算 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如下表（单位：万人）：
人群 青少年 中年人 老年人
支持A方案 200 400 800
支持B方案 100 100
已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率.
（17）（本小题满分12分）
已知函数 = （ ）的最小正周期是 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 的图象，求 的解析式及其在 上的值域.
（18）（本小题满分12分）山东中学联盟
在如图所示的几何体中，四边形 是矩形，四边形 是
梯形， 平面 // ， ，
， .
（Ⅰ）求证： //平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 .
（19）（本小题满分12分）
已知数列 中， .
（Ⅰ）求证： 是等比数列，并求 的通项公式 ；
（Ⅱ）设 ，记其前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围.
（20）（本小题满分14分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式 在 上有解，求实数 的取值菹围；
（Ⅲ）证明：函数 和 在公共定义域内， .
（21）（本小题满分13分）
设 是椭圆 ： （ ）的左右焦点,过 作倾斜角为 的直线与椭圆交于 两点, 到直线 的距离为3,连接椭圆的四个顶点得到菱形面积为4 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程;
（Ⅱ）过椭圆 的左焦点 作直线 交椭圆 于另一点 .
(1) 若点 是线段 的垂直平分线上的一点，且满足 ，求实数 的值.
(2) 过 作垂直于 的直线 交椭圆于另一点 ，当直线 的斜率变化时，直线 是否过 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
（Ⅱ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到
的图象，所以 ………………………8分
因为 ，所以 ………………………10分
所以当 即 时 上有最大值3
所以当 即 时 上有最小值
所以 上的值域为 …………………………………12分
18证明：（Ⅰ）连接 .因为 // , //
所以 // ……………………………2分
又 所以 四边形 是平行四边形 所以 // ………………… 4分
又 平面 ， 平面 所以 //平面 ．………… 6分
（Ⅱ）取 的中点 ,连接 ,则 .又 // ，故四边形 是平行四边形.
所以 所以 是直角三角形，所以 ⊥ …………8分
又 所以 ⊥ ………………………11分
又 , , 所以 ………12分
19.解：（Ⅰ）由 知， …………… 3分
又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列 …… 4分
所以 故 …… 6分
（Ⅱ） ……………………………… 7分
所以
……………… 8分
两式相减得
所以 …………………………………………………… 9分
由 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立 ……………………………… 10分
设 ，易知 是递增函数 ………………………………11分
所以 ，即 . ………………………………12 分
设 ， ………………6分
因为 ，且 时， ，
所以 ，即 ，故 在区间 上单调递减，
所以 ， …………………………………………8分
因此 ﹒ …………………………………………9分
（Ⅲ）方法一： 与 的公共定义域为 ，
，……………………………………10分
设 ， ，因为 ， 在区间 上单调递增， ， ………………………12分中学联盟网
又设 ， ，由（Ⅰ）知 是 的极大值点， 即 ，所以 ，
在函数 和 公共定义域内， ﹒ …………………13分
方法二： 与 的公共定义域为 ，
令 ，则 ……………………10分
设 的解为 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增； 所以 在 处取得最小值 ，………………12分
显然 且 ，所以 ，所以 ，
故在函数 和 公共定义域内， ﹒…………………13分
21.解: （Ⅰ）设焦距为 ,过右焦点倾斜角为 的直线方程为 ,由题意得 ……….1分 解得 …………2分
椭圆的方程为 …………………………….3分
（Ⅱ）(1)设 (i)当 斜率不存在时，
， ……………………………4分
（ii）当 斜率存在时,设 的方程为 ，则
消去 得 ,则 ,……5分
所以 , 故 ………6分.
的中点 ……………7分
令 ,得 , 所以 ………………8分
,解得 ,符合 故 …………………………………9分
综上所述 或 ………………………10分
(2)设 的方程为 ,设
消去 得
则 ……12分
因为 ,所以
解得 (舍) 或
所以 的方程为 ,即 ,过定点 ……13分
当 的斜率不存在时,经计算知也过 ,故过定点 .……14分
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