北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试
数学试卷(理科)
本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分。考试时长120分钟。
第I卷(选择题 共40分)
一、选择题。(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1. 设U=R,集合 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
2. 双曲线 的焦距为
A. 6 B. 12 C. 36 D.
3. 设二项式 的展开式中常数项为A,则A=
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6
4. 如图所示的程序框图表示求算式“ ”之值,则判断框内不能填入
A. ? B. C. ? D. ?
5. 已知 有唯一的零点,则实数 的值为
A. 0 B. -1 C. -2 D. -3
6. 设 为非零常数,则“ 与 解集相同”是“ ”的
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 充分而不必要条件
7. 设集合 ,集合 ,若 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知 不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共110分)
二、填空题。(本大题共6小题,每小题5分,满分30分)
9. 复数 的虚部为__________。
10. 已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位: ),可得这个几何体的体积是__________ 。
11. 如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,AD与⊙O相切,割线DM与⊙O相交于点M,N,若∠B=30°,AC=1,则DM DN=____________。
12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表:假定每月初可以和电信部门约定上网方案。
方案 类别 基本费用 超时费用
甲 包月制 70元
乙 有限包月制(限60小时) 50元 0.05元/分钟(无上限)
丙 有限包月制(限30小时) 30元 0.05元/分钟(无上限)
若某用户每月上网时间为66小时,应选择__________方案最合算。
13. 数列 的前 项和记为 ,若 , ,则数列 的通项公式为 _______________。
14. 圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图装置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为____________。
三、解答题。(本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤)
15. (本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 ,满足 ,
且 。
(I)求C的大小;
(II)求 的最大值,并求取得最大值时角A,B的值。
16. (本小题满分13分)
如图,四棱锥 中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=2PA=2AB=2BC=2。
(I)求三棱锥 的外接球的体积;
(II)求二面角 与二面角 的正弦值之比。
17. (本小题满分13分)
设集合 ,从S的所有非空子集中,等可能地取出一个。
(I)设 ,若 ,则 ,就称子集A满足性质 ,求所取出的非空子集满足性质 的概率;
(II)所取出的非空子集的最大元素为 ,求 的分布列和数学期望 。
18. (本小题满分14分)
如图,已知椭圆 的左焦点为F( ,0),过点M(-3,0)作一条斜率大于0的直线 与椭圆W交于不同的两点A、B,延长BF交椭圆W于点C。
(I)求椭圆W的离心率;
(II)若∠MAC=60°,求直线 的斜率。
19. (本小题满分13分)
已知定义在 上的函数 , 。
(I)求证: 存在唯一的零点,且零点属于(3,4);
(II)若 且 对任意的 恒成立,求 的最大值。
20. (本小题满分14分)
给定正奇数 ,数列 : 是1,2,…, 的一个排列,定义E( ,…, ) 为数列 : , ,…, 的位差和。
(I)当 时,求数列 :1,3,4,2,5的位差和;
(II)若位差和E( , ,…, )=4,求满足条件的数列 : , ,…, 的个数;
(III)若位差和 ,求满足条件的数列 : 的个数。
参考答案:
一、选择题。(共8小题,每小题5分,共40分)
1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. D
7. 提示:由图可知,不等式组所表示的区域非空当且仅当点( )位于直线 的下方,即 ,由此解得 。
原题等价于函数 的最大值小于2, 即 。
8. 提示: 为R上的减函数,故 ,从而 ,所以 ,得 。
二、填空题。(共6小题,每小题5分,共30分)
9. -1 10. 11. 3 12. 乙
13.
14. 提示:A走过的路径由9段圆心角均为 的劣弧组成,其中6个劣弧所在圆的半径为1,3个劣弧所在圆的半径为 ,所以点A走过的路径的长度为
。
三、解答题。(共6小题,共80分)
15. (本小题满分13分)
解:(I)由 ,
可得 ,
即 ,又 ,所以 ,
由正弦定理得 ,(4分)
因为 ,所以 0,从而 ,即 。(6分)
(II)由余弦定理 ,得 ,
又 ,所以 ,于是 ,(11分)
当 时, 取到最大值 。(13分)
16. (本小题满分13分)
解:(I)连接AC,则AC⊥CD,
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
∴CD⊥平面PAC,
又PC 平面PAC,
∴∠PCD=90°,(2分)
而∠PAD=90°,
从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E。(4分)
直径 ,
所以三棱锥P-ACD外接球的体积
。(6分)
(II)建立坐标系,以点A为坐标原点,
分别为 轴正方向,
则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)
。
设平面PBC的法向量 ,则 即
∴ =(1,0,1)
由(I)知CD⊥平面PAC,故平面PAC的一个法向量为 =(-1,1,0),(8分)
所以 。
二面角B-PC-A的大小为 ,其正弦值为 ,(10分)
由CD⊥平面PAC,得平面PCD⊥平面PAC,二面角A-PC-D为直二面角,其正弦值为1,(12分)
综上,二面角B—PC—A与二面角A—PC—D的正弦值之比为 。(13分)
17. (本小题满分13分)
解:可列举出集合S的非空子集的个数为: 个。(2分)
(I)满足性质 的非空子集为: , , , , , , 共7个,所以所取出的非空子集满足性质 的概率为:
。(6分)
(II) 的可能值为1,2,3,4,5。
1 2 3 4 5
P
(11分)
。(13分)
18. (本小题满分14分)
解:(I)由题设 ,
解得 ,(3分)
所以椭圆W: ,
离心率 。(5分)
(II)设直线 的方程为 。
联立
得 ,
由直线 与椭圆W交于A、B两点,可知
△ ,解得 ,
设点A,B的坐标分别为 ,
则 , ,(8分)
因为F(-2,0),设点A关于 轴的对称点为C′,则C′( ),
所以 ,
又因为
,
所以B,F,C′共线,从而C与C′重合,
连接MC,则 ,(12分)
则△MAC为等边三角形,所以直线 的斜率 ,符合 ,
综上,直线 的斜率为 。(14分)
19. (本小题满分13分)
解:(I) , ,则 ,
故 在 上单调递增,(3分)
而 ,
所以 存在唯一的零点 。(6分)
(II)由(I) 存在唯一的零点 显然满足: ,
且当 时, ;当 时, ,
当 时, 等价于 ,
设 。
则 ,故 与 同号,因此当 时, ;
当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,(10分)
故 ,
由题意有 ,又 ,而 ,故 的最大值是3。(13分)
20. (本小题满分14分)
解:(I)E(1,3,4,2,5)=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4;(3分)
(II)若数列 : , ,…, 的位差和E( , ,…, )=4,有如下两种情况:
情况一:当 , , , ,且 ,其他项 (其中 )时,有 种可能;(5分)
情况二:当 分别等于 , , 或 , , 或 , ,其他项 (其中 )时,有 种可能;(7分)
综上,满足条件的数列 : 的个数为
。(8分)
例如: 时,
情况一:形如2,1,4,3,5,共有2+1=3种:2,1,4,3,5;2,1,3,5,4;1,3,2,5,4;
情况二:形如3,2,1,4,5,共有5-2=3种:3,2,1,4,5;1,4,3,2,5;1,2,5,4,3;
形如2,3,1,4,5,共有5-2=3种:2,3,1,4,5;1,3,4,2,5;1,2,4,5,3;
形如3,1,2,4,5,共有5-2=3种:3,1,2,4,5;1,4,2,3,5;1,2,5,3,4。
(III)将 去绝对值符号后,所得结果为
1 1 2 2 3 3 …
的形式,其中恰好有 个数前面为减号,这表明
,(10分)
此不等式成立是因为前面为减号的 个数最小为:2个1,2个2,…,2个 和1个 。(11分)
上面的讨论表明,题中所求的数列 是使得E( )最大的数列,这样的数列在 时,要求从1,2,…, 中任选一个数作为 ,将剩余数中较大的 个数的排列作为 …, 的对应值,较小的 个数的排列作为 , ,…, 的对应值,于是所求数列的个数为 。
综上,满足条件的数列的个数为 (14分)
例如: 时,
E( ) 。
此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为:2个1,2个2和1个3。
若E( )=12, ,此时 时,要求从1,2,3,4,5中任选一个数作为 ,将剩余数中较大的2个数的排列作为 , 的对应值,较小的2个数的排列作为 的对应值,于是所求数列的个数为 。
4,5,1,2,3;4,5,1,3,2;5,4,1,2,3;5,4,1,3,2;
4,5,2,1,3;4,5,2,3,1;5,4,2,1,3;5,4,2,3,1;
4,5,3,1,2;4,5,3,2,1;5,4,3,1,2;5,4,3,2,1;
3,5,4,1,2;3,5,4,2,1;5,3,4,1,2;5,3,4,2,1;
3,4,5,1,2;3,4,5,2,1;4,3,5,1,2;4,3,5,2,1。
题目背景:假设现在有 种物品,已经按照某种标准排列,并依次确定编号为1,2,…, ,鉴别师事先不知道物品的标准排列编号,而是根据自己的判断,对这 种物品进行排列依次编号为 ,其中 是1,2,…, 的一个排列,那么可以用数列 : 的位差和
E( )= ,
来评判鉴别师的能力。
当E( )越小,说明鉴别师能力越强;反之越大,说明鉴别师能力越弱;
当E( )=0,说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致,判断完全正确;
第二问,位差和E( )=4时,给出数列 : 的情况;
第三问,说明位差和E( )最大值为 ,且给出取得最大值时,数列 : 的情况。
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