北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试
数学试卷（文科）
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ， ，若 是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
3. “ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为 ，则在判断框中应填入关于 的判断条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 有唯一的零点，则实数 的值为（ ）
A. -3 B. -2 C. -1 D. 0
7. 如图，直线 与圆 及抛物线 依次交于A、B、C、D四点，则 （ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
8. 已知 不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 不等式组 表示的平面区域的面积为__________。
10. 设平面向量 ， ，若 ，则 =__________。
11. 在等差数列 中， ，则 __________。
12. 直线 被圆 截得的弦长为__________。
13. 已知 ，且 ，则 的值为__________。
14. 已知数集 具有性质P：对任意 ，其中 ，均有 属于A，若 ，则 __________。
三、解答题。（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15. （本小题共13分）
设数列 的前 项和为 ，且 。
（I）求数列 的通项公式；
（II）若数列 满足 ，求数列 的通项公式。
16. （本小题共13分）
在△ABC中， 分别是角 的对边，满足 ，且 。
（I）求C的大小；
（II）求 的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。
17. （本小题共14分）
如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到 点，且 在平面BCD上的射影O恰好在CD上。
（I）求证：BC⊥ ；
（II）求证：平面 ⊥平面 ；
（III）若AB=10，BC=6，求三棱锥 的体积。
18. （本小题共13分）
设 ，已知函数 。
（I）当 时，求函数 的单调区间；
（II）若对任意的 ，有 恒成立，求实数 的取值范围。
19. （本小题共13分）
已知椭圆 的左焦点为 ，过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线 与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C。
（I）求椭圆W的离心率；
（II）求证：点A与点C关于 轴对称。
20. （本小题共14分）
已知定义在 上的函数
（I）求证： 存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；
（II）若 ，且 对任意的 1恒成立，求 的最大值。
参考答案：
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. A 2. D 3. A 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 1 10. 5 11. 12. 13. 14. 30
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15. （共13分）
解：（I）因为 ，
则 ，
所以当 时， ，
整理得 ，
由 ，令 ，得 ，解得 。
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，可得 （6分）
（II）因为 ，
由 ，得 ，
由累加得
，
当 时也满足，所以 。（13分）
16. （共13分）
解：（I）由 ，得
，
又 ，所以
由正弦定理得 。
因为 ，所以 ，从而 ，即 。（6分）
（II）由余弦定理 ，得 ，
又 ，所以 ，于是 。
当 时， 取得最大值 （13分）
17. （共14分）
解：（I）因为 在平面 上的射影O在CD上，
所以 ⊥平面BCD。
又BC 平面BCD，
所以BC⊥ 。
又BC⊥CO，CO ，
平面 ， 平面 ，
所以BC⊥平面 。
又 平面 ，
所以 。（5分）
（II）因为矩形ABCD，
所以 ⊥ 。
由（I）知BC⊥ 。
又 平面 ，
所以 。
又 ，
所以平面 。（10分）
（III）因为 ，
所以 。
因为CD=10， ，所以 。
所以 。（14分）
18. （共13分）
解：（I）当 时， ，
则 ，
由 ，得 ，或 ，
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为（0，2）。（6分）
（II）依题意，对 ， ，
这等价于，不等式 对 恒成立。
令 ，
则 ，
所以 在区间 上是减函数，
所以 的最小值为 。
所以 ，即实数 的取值范围为 。（13分）
19. （共13分）
解：（I）由题意 ，
解得 。
所以椭圆 。
离心率 。（5分）
（II）设直线 的方程为 。
联立
得 。
由直线 与椭圆W交于A、B两点，可知
△ ，解得 。
设点A，B的坐标分别为（ ）， ，
则 ， ，
。
因为F（-2，0），设点A关于 轴的对称点为C′，则C′（ ），
所以 ， 。
又因为
，
所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，故点A与点C关于 轴对称。（13分）
20. （共14分）
解：（I）由 ，可得 ，
故 在 上单调递增，
而 ， ，
所以 存在唯一的零点 。（7分）
（II）由（I） 存在唯一的零点 显然满足： ，且当 时，
；当 时， 。
当 时， 等价于 。
设 ，
则 ，故 与 同号，
因此当 时， ；当 时， 。
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 。
由题意有 ，又 ，而 ，故 的最大值是3。（14分）
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