浙江省2015届高三第一次五校联考理科数学试题
命题学校：宁波效实中学
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 V= Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高
球的体积公式V= πR3 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为 ，集合 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．在等差数列 中， ，则此数列 的前6项和为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．已知函数 是偶函数，且 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知直线 ，平面 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
5．函数 的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）
（A）向左平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度
（C）向左平移 个单位长度 （D）向右平移 个单位长度
6．右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，
则它的正视图为（ ）
7．如图，在正四棱锥 中， 分别是 的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．中恒成立的为（ ）
（A）①③ （B）③④ （C）①② （D）②③④
8．已知数列 满足： ， ．若
， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．定义 ，设实数 满足约束条件 ，则
的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不可能为（ ）
（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个
非选择题部分（共100分）
二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11．函数 的定义域为_____▲____．
12．已知三棱锥 中， ， ，则直线 与底面 所成角为_____▲____．
13．已知 ， ，则 _____▲____．
14．定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则
_____▲____．
15．设 是按先后顺序排列的一列向量，若 ，
且 ，则其中模最小的一个向量的序号 ___▲____．
16．设向量 ， ，其中 为实数．
若 ，则 的取值范围为_____▲____．
17．若实数 满足 ，则 的最大值为____▲_ ___．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ,
的面积为 ．
（Ⅰ）当 成等差数列时，求 ；
（Ⅱ）求 边上的中线 的最小值．
19．（本题满分14分）四棱锥 如图放置， , ，
， 为等边三角形．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．
20．本题满分15分）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
21．（本题满分15分）已知数列 的前 项和 满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，记数列 的前 和为 ，证明： ．
22．（本题满分14分）给定函数 和常数 ，若 恒成立，则称 为函数 的一个“好数对”；若 恒成立，则称 为函数 的一个“类好数对”．已知函数 的定义域为 ．
（Ⅰ）若 是函数 的一个“好数对”，且 ，求 ；
（Ⅱ）若 是函数 的一个“好数对”，且当 时， ，求证：
函数 在区间 上无零点；
（Ⅲ）若 是函数 的一个“类好数对”， ，且函数 单调递增，比较 与 的大小，并说明理由．
2014学年浙江省第一次五校联考
数学（理科）答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内 容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题 和填空题不给中间分．
而 ．
即 ，解得 …………7分
（Ⅱ）∵ ，∴
当 时取等号…………14分
(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形 中， ，而 ，则
同理 ，故 ；…………6分
（Ⅱ）取 中点 ,连 ，
作 ,垂足为 ,再作 ,连 。
易得 ，则
于是 ，
即 二面角 的平面角。
在 中， ∴ ，
故二面角 的平面角的余弦值为 …………14分
解法2：（Ⅰ）易知在梯形 中， ，
而 ，则
同 理 ，故 ；…………6分
（Ⅱ）如图建系，则
,
设平面 的法向量为 ，则
即 ，取 ，
首先，由（Ⅰ）可知， 在 上恒递增
则 ，解得 或
其次，当 时， 在 上递增，故 ，解得
当 时， 在 上递增，故 ，解得
综上： 或 …………15分
(21)解：（Ⅰ）由 ，及 ，作差得 ，
即数列 成等比， ，故 …………7分
（Ⅱ）∵
∴ ………9分
则
即 ………12分
∴
故 …………15分
(22)解：（Ⅰ）由题意， ，且 ，则
则数列 成等差数列，公差为 ，首项 ，于是 …………4分
（Ⅱ）当 时， ，则由题意得
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