2015年重庆一中高2015级高三上学期一诊模拟考试
数学试题卷（理科） 2015.1
本试题卷共4页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1．复数z= （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ )
A． B． C． D．
3．设有算法如右图所示：如果输入 ，则输出的结果是（ ）
A．144 B．3 C．0 D．12
4．下列命题错误的是（ ）
A．若命题P：∃ ∈R，.则￢P：∀ ∈R，
B．若命题p∨q为真，则p∧q为真
C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同
D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 ，若 ， ， 则
5.在等腰 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6 .定义在R上的函数 满足 ，且 时， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
7.若关于 的方程 有四个不同的实数解,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.数列 共有11项, 且 。满足这种条件的不同数列的个数为( )
A. 100 B. 120 C. 140 D. 160
9．抛物线 上两点 关于直线 对称，若 ，则 的值是（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
10. （ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分）
11.已知随机变量 满足正态分布 ，且P ，P ，则P( )= ．
12.设 为双曲线 的左右焦点，以 为直径作圆与双曲线左支交于 两点，且 .则双曲线的离心率为 __________
13.设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为2，当 的最小值为 时，则 的图象向右平移 后的表达式为_____________。
考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14.如图， 的角平分线 的延长线交它的外
接圆于点 若 的面积 ，则
的大小为________ .
15. 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线 （ 为参数）与曲线 （ 为参数且 ）相切，则
______．
16.若不等式 的解集不为 ，则实数 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分13分） 已知等比数列{ }的公比 =3，前3项和 = .若函数 = （ ＞0,0＜ ＜ ）在 处取得最大值，且最大值为 。
（1）求函数 的解析式.
（2）若 ， ，求 的值。
18. （本题满分13分）现有3所重点高校A,B,C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的。现某班有4位同学提出申请，求：
（1）恰有2人申请A高校的概率；
（2）4人申请的学校个数 的分布列和期望.
19. （本题满分13分） 已知函数 （ ）．
（1）求 的单调递增区间；
（2）在 中， 为锐角，且 ， ， 是 边上一点， ，试求 周长的最大值．
20. （本题满分12分）已知函数 （其中 ）。
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
2 1. （本题满分12分）已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在 轴上，过点 ，离心率为 。
（1）求椭圆C的方程。
（2）若 为椭圆C上的动点，且 （其中 为坐标原点）。求证：直线 与定圆相切。并求该圆的方程与 面积的最小值。
22. （本题满分12分）已知数列 的前 项之积 满足条件：（1） 为首项为2的等差数列；（2） 。
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为 。求证：对任意正整数 ，有
命题人：李兵
审题人：李华
2015年重庆一中高2015级高三上学期一诊模拟考试
数学答案（理科）
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C B B A C C B A B
填空题
11 12 13 14 15 16
0.1
1
解答题：
17．（1）由 得 ，
由已知有A=3， ， 。
（6分）
（2） 。
（13分）
18. 解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率
试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，
满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有C4222种
∴根据等可能事件的概率公式得到P= = （6分）
（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）= ， P（ξ=2）= ，
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列是：
ξ 1 2 3
P
∴Eξ= （13分）
19．（1）
.
由 ，得 （ ）.
单调递增区间为 ， (7分)
（2）由 得 .又 ，则 ，从而
，∴ . 由 知 是正三角形， ，
∴ ，
在 中，由正弦定理，得 ，即 .
∵ 是 边上一点，∴ ，∴ ，知 .
当 时， 取得最大值8，周长最大值为 。（13分）
20 . 的定义域为
当 时， ，
令 =0得
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 的最小值为 （6分）
由（1）知当 时 恒成立，即 恒成立；
所以当 ， 时，
符合要求
当 时，
由于方程 的 ，所以该方程有两个不等实根 ，且 。由 知 。
在 上单调递减。
若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，也与条件矛盾。
综上可知， 的取值范围为 （12分）
21.（1）椭圆方程： （4分）
（2）可由 设 ， ,即 。
将A,B代入椭圆方程后可得：
两式相加可得： =
AB边上的高为 =
AB与定圆 相切
同时： ，
，当且仅当 时取等。 （12分）
22.（1）设数列 公差为 ,则
由方程 可得 ，
当 时， ，当 时， 符合
（5分）
（2）注意到：
同时，由上面可知：
（12分）
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