高三数学试卷
2015.1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 设集合M＝{x|x＋3x－2＜0}，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．
2. 复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，
则实数a的取值范围是_______．
3. 某公司生产三种型号A、B、C的轿车，月产量分
别为1200、6000、2000辆．为检验该公司的产品
质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，
则型号A的轿车应抽取________辆．
4. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，
现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的
概率是__________．
5. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值
是________．
6. 设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列
{an}是递增数列”的_________条件．
7. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1∶V2＝________.
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120º，AB＝AC＝2，
D为BC边上的点，且→AD•→BC＝0，→CE＝2→EB，
则→AD•→AE＝_______.
9. 对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数 的取值范围是________．
10. 如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1
(a＞b＞0)的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，
则该椭圆的离心率为 ．
11. 已知函数f (x)＝lgx (0＜x≤10)|6－12x| (x＞10)，若a,b,c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，
则a＋b＋c的取值范围为 ．
12. 若函数f (x)＝sin(ωπx－π4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是___________．
13. 若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是__________．
14. 定义：若函数f (x)为定义域D上的单调函数，且存在区间(m,n)⊆D(m＜n)，使得当x∈(m,n)时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数f (x)是D上的“正函数”． 已知函数f (x)＝ax (a＞1)为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在△ABC中，A、B、C为三个内角，f (B)＝4sinB•cos2π4－B2＋cos2B．
（Ⅰ）若f (B)＝2，求角B；
（Ⅱ）若f (B)－m＜2恒成立，求实数m的取值范围．
16. 正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．
17. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．
（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD＝60º，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；
（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．
18. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(0,3)，离心率为12，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且→MA＝λ→AF，→MB＝μ→BF，当直线l的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；
（3）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
19. 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a31＋a32＋a33＋•••＋a3n＝(a1＋a2＋a3＋•••＋an)2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n＋(－1)n−1•λ•2an (λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn．
20. 已知函数f (x)＝mxx2＋n (m,n∈R)在x＝1处取到极值2．
（1）求f (x)的解析式；
（2）设函数g(x)＝ax－lnx，若对任意的x1∈[12, 2]，总存在唯一的x2∈[1e2, e](e为自然对数的底)，使得g(x2)＝f (x1)，求实数a的取值范围．
命题、校对：王喜、蒋红慧
附加题
1. 已知矩阵M＝1ab1，N＝c20d，且MN＝20－20，
（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；
（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
2. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋2ty＝1－t(t为参数)，椭圆C的方程为x24＋y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．
3. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
4. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望E(X )；
（2）求恰好得到n (n∈N*)分的概率．
高三数学试卷参考答案
2015.1
1、(1,2) 2、(－1,1) 3、6 4、35 5、63 6、充要
7、16 8、1 9、(－∞,13) 10、2－1 11、(25,34) 12、54
13、5＋2 14、(1, e1e)
15、解：(Ⅰ) f (B)＝4sinBcos2(π4－B2)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋1―2sin2B＝2sinB＋1＝2
∴sinB＝12 又∵0＜B＜π ∴B＝π6或5π6．
(Ⅱ) ∵f (B)－m＜2恒成立∴2sinB＋1－m＜2恒成立 ∴2sinB＜1＋m
∵0＜B＜π，∴2sinB的最大值为2，∴1＋m＞2 ∴m＞1．
16、证明：（1）正方形ABCD中， ， 又 平面CDE， 平面CDE，
所以 平面CDE．
（2）因为 ，且 ，
所以 ，
又 且 ， ，
所以 ， 又 ，
所以 ．
17、解：（1）设 与 所成夹角为 ，则 与 所成夹角为 ，
对菱形 的边长“算两次”得 ， 解得 ，
所以，养殖区的面积 ；（5分）
（2）设 与 所成夹角为 ， ，
则 与 所成夹角为 ，
对菱形 的边长“算两次”得 ，解得 ，
所以，养殖区的面积 ，
由 得 ，
【要修改为：列表求最值】经检验得，当 时，养殖区的面积 ．
答：（1）养殖区的面积为 ；（2）养殖区的最小面积为 ．（15分）
18、解：（1）x24＋y23＝1
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)
∵→MA＝→AF ∴(x1,y1－y0)＝(1－x1,－y1) ∴＝x11－x1，同理，＝x21－x2
∴＋＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x2x1x2－x1－x2＋1
∵l：y＝k(x－1)3x2＋4y2－12＝0∴(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3
∴x1＋x2－2x1x2＝8k24k2＋3－2×4k2－124k2＋3＝244k2＋3，
x1x2－x1－x2＋1＝4k2－124k2＋3－8k24k2＋3＋1＝－94k2＋3
∴＋＝－249＝－83
（3）当l⊥x轴时，易得AE与BD的交点为FK的中点(52,0)
下面证明：BD过定点P(52,0)
B、D、P共线kBP＝kDPy14－52＝y2x2－5232y2＝x2y1－52y13y2＝2x2y1－5y1
3k(x2－1)＝2x2k(x1－1)－5k(x1－1)2kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝02k•4k2－124k2＋3－5k•8k24k2＋3＋8k＝0
2k(4k2－12)－40k3＋8k(4k2＋3)＝0成立．得证．
同理，AE过定点P(52,0)，∴直线AE与BD相交于一定点(52,0)．
【注】：书写可证明：kBP－kDP＝•••－•••＝•••••••，证明值为0．
19、证明：(1)在已知式中, 当n＝1时, a31＝a21∵a1＞0∴a1＝1
当n≥2时, a31＋a32＋a33＋•••＋a3n＝(a1＋a2＋•••＋an)2•••••••••••①
a31＋a32＋a33＋•••＋a3n－1＝(a1＋a2＋•••＋an－1)2(n≥2)••••••••②
由①－②得, a3n＝an[2(a1＋a2＋•••＋an－1)＋an] (n≥2) ∵an＞0
∴a2n＝2(a1＋a2＋•••＋an－1)＋an(n≥2) ••••••••③
a2n－1＝2(a1＋a2＋•••＋an－2)＋an－1(n≥3) ••••••••④
③－④得, a2n－a2n－1＝2an－1＋an－an－1＝an－1＋an (n≥3)
∵an－1＋an＞0, ∴an－an－1＝1(n≥3),
∵a1＝1，a2＝2∴a2－a1＝1∴an－an－1＝1(n≥2)
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1, 可得an＝n
（2） ∵an＝n, ∴bn＝3n＋(－1)n−1•2n
∴bn＋1－bn＝3n+1＋(－1)n•2n+1－[3n＋(－1)n−1•2n]＝2•3n－3(－1)n−1•2n＞0
∴(－1)n−1＜(32)n−1••••••••⑤
当n＝2k－1,k＝1,2,3,•••时, ⑤式即为＜(32)2k−2••••••••⑥
依题意, ⑥式对k＝1,2,3,•••都成立, ∴＜1
当n＝2k,k＝1,2,3,•••时, ⑤式即为＞－(32)2k−1•••••••••⑦
依题意, ⑦式对k＝1,2,3,•••都成立 ∴＞－32
∴－32＜＜1又≠0, ∴存在整数＝－1, 使得对任意n∈N*, 都有bn＋1＞bn．
20、解： （1）∵f (x)＝m(x2＋n)－2mx2(x2＋n)2＝－mx2＋mn(x2＋n)2∵由f (x)在x＝1处取到极值2，∴f (1)＝0f (1)＝2
∴－m＋mn(1＋n)2＝0，m1＋n＝2,∴m＝4n＝1，经检验，此时f (x)在x＝1处取得极值，故f (x)＝4xx2＋1
（2）记f (x)在[12,2]上的值域为A，函数g(x)在[1e2,e]上的值域为B，
由（1）知：f (x)＝－4x2＋4(x2＋1)2＝－4(x－1)(x＋1)(x2＋1)2 ∴f (x)在[12,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，
由f (1)＝2，f (2)＝f (12)＝85，故f (x)的值域A＝[85,2]
依题意g(x)＝a－1x ∵x∈[1e2,e] ∴1e≤1x≤e2
①当a≤1e时，g(x)≤0 ∴g(x)在[1e2,e]上递减 ∴B＝[g(e),g(1e2)]，
由题意得：[85,2]⊆B．∵g(e)＝ae－1，g(1e2)＝a1e2＋2，
∴g(e)＝ae－1≤85g(1e2)＝a1e2＋2≥2 ∴a≤135ea≥0 ∵135e＞1e ∴0≤a≤1e
②当1e＜a＜e2时，e＞1a＞1e2 ∴当x∈[1e2,1a)时，g(x)＜0；当x∈(1a,e]时，g(x)＞0；
∵对任意的y1∈[85,2]，总存在唯一的x2∈[1e2,e]，使得g(x2)＝y1
∵g(e)－g(1e2)＝ae－a1e2－3＝a(e－1e2)－3
∴当3e2e3－1＜a＜e2时，g(e)＞g(1e2)，∴g(1e2)≤85g(e)≥2∴a≥3ea≤－25e2 无解
当1e＜a＜3e2e3－1时，g(e)＜g(1e2) ∴g(e)＝ae－1≤85g(1e2)＝a1e2＋2≥2 ∴a≤135ea≥0 ∵135e＜3e2e3－1 ∴1e＜a＜135e
当a＝3e2e3－1时，g(e)＝g(1e2)不成立；
③当a≥e2时，1a＜1e2 ∴g(x)＞0 ∴g(x)在[1e2,e]上递增 ∴B＝[g(1e2), g(e)]
∵[85,2]⊆B ∴g(e)≥2，g(1e2)≤85 ∴ea－1≥2ae2＋2≤85 ∴a≥3ea≤－25e2 无解
综上，0≤a≤135e
附加题
1、解：（Ⅰ）由题设，1ab1c20d＝20－20得c＝22＋ad＝0bc＝－22b＋d＝0，解得a＝－1b＝－1c＝2d＝2；
（Ⅱ）取直线y＝3x上的两点(0,0)、(1,3)，
由1－1－1100＝00，1－1－1113＝－22得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝－x．
2、解：直线l的参数方程为x＝2＋2ty＝1－t(t为参数)∴x＋2y＝4
设P(2cosθ,sinθ)∴P到l的距离为d＝|2cosθ＋2sinθ－4|5＝|22sin(θ＋ π 4)－4|5≥|22－4|5＝4－225
当且仅当sin(θ＋ π 4)＝1，即θ＝2kπ＋ π 4时等号成立．此时，sinθ＝cosθ＝22∴P(2,22)
3、解：（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝ π 2．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝2，(2,0,0)
从而B(0，0，0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0，0，3)，A1 A(2,0,3)，C1(0,2,3)，D(22,22,3)，E(0,22,32)．所以→CA1＝(2,－2,3)，设AF＝x，则F(2，0，x)，
→CF＝(2,－2,x)，→B1F＝(2,0,x－3) ，→B1D＝(22,22,0)
∴→CF•→B1D＝•••＝0，所以→CF⊥→B1D
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.
由→CF•→B1F＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．
（2）由（1）知平面ABC的法向量为m＝(0,0,1).
设平面B1CF的法向量为n＝(x,y,z)，
则由n•→CF＝0n•→B1F＝0得2x－2y＋z＝02x－2z＝0令z＝1得n＝(2,322,1)，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos＜m,n＞＝3015
5 6 7 8 9 10
P 132
532
516
516
532
132
4、解：（1）所抛5次得分的概率为P(＝i)＝Ci-55•(12)5 (i＝5，6，7，8，9，10)，
其分布列如下：
∴ E＝152
（2）令Pn表示恰好得到n分的概率. 不出现n分的唯一情况是得到n－1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n分”的概率是1－Pn，“恰好得到n－1分”的概率是Pn－1，
因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－Pn＝12Pn－1，即Pn－23＝－12( Pn－1－23).
于是{Pn－23}是以P1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列.
所以Pn－23＝－16(－12)n−1，即Pn＝13[2＋(－12)n]. 答：恰好得到n分的概率是13[2＋(－12)n].
点击下载：江苏省扬州中学2015届高三1月质量检测 数学
