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2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试
数 学 试 题 卷 （文科） 2015.1
一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
3．设 是定义在R上的周期为 的函数，当x∈[－2，1)时， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
4.下列结论正确的是（ ）
A． B. C. D.
5.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）
A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
7. 已知 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A． B． C．1 D．2
9. 抛物线 的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10. 已知函数 则函数 的所有零点之和是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）
11. 设数列{ }的前n项和为 ,中 = .
12. 已知 是虚数单位， 和 都是实数，且 ，则
13.已知 ，则 =
14.已知 ，且 ，则 = .
15. 设等比数列 满足公比 ，且 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若 ，则 的所有可能取值的集合为
三．解答题（本大题共6个小题，共75分）
16.（13分）已知等差数列 的前n项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
18.（13分） 已知 的三边分别是 ，且满足
（1）求角A；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
19.（12分）（原创）已知
（1）求函数 在 处的切线方程（用一般式作答）；
（2）令 ，若关于 的不等式 有实数解.求实数 的取值范围.
20.（12分）如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形， ， ， ， ， ．
（1）求证:
（2）求几何体 的体积．
21.（12分）（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点 在坐标轴上，其离心率为 ，且与 轴的一个交点为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C过点 ，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线 ， 到 的距离分别为 .探究： 是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆 在其上一点 处的切线方程是 )；
（3）求（2）中 的取值范围.
命题人：周波涛
审题人：张志华
2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试
数 学 答 案 解 析 （文科）2015.1
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
答案：A
2、对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
答案：B
3．设 是定义在R上的周期为 的函数，当x∈[－2，1)时， ，则 ＝
A． B． C． D．
答案：D
4.下列结论正确的是（ ）
A． B. C. D.
答案：A
5.若 ，则 （ ）
A. B. C .D.
答案：C
6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）
A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
答案：B
7. 已知 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
答案：C
8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：C
9. 抛物线 的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为 的值为
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：D
10. 已知函数 则函数 的所有零点之和是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
11. 设数列{ }的前n项和为 ,中 = .
答案：9
12. 已知 是虚数单位， 和 都是实数，且 ，则
答案：
13.已知 ，则 =
答案：
14.已知 ，且 ，则 = .
答案：
15. 设等比数列 满足公比 ，且 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若 ，则 的所有可能取值的集合为
【答案】
解析：根据题意得对任意 有 ,使
，即 ，因为 ，所以
是正整数1、3、9、27、81， 的所有可能取值的集合为 .
16.已知等差数列 的前n项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
解答：
设 的公差为 ，则由题得
则
（2）由（1）得
则所求和为
17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
解答：
(1)
解得 =179 所以污损处是9
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，
而事件A含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝25
18. 已知 的三边分别是 ，且满足
（1）求角A；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
解答：
（1）由余弦定理得 ，则 ；
（2）由题得 ，则 时取等号）
故 的面积的最大值为 .
19.（原创）已知
（1）求函数 在 处的切线方程（用一般式作答）；
（2）令 ，若关于 的不等式 有实数解.求实数 的取值范围.
解答：
（1）由题 ，则 ，
则所求切线为
即
（2） ，显然 时不是不等式的解，故 ，
故
由（1）可知 ，则 .
20. 如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形， ， ， ， ， ．
（1）求证:
（2）求几何体 的体积．
解答：
（1）证明：由题意得， ， ，且 ，
∴ 平面 ， ∴ ， ………………2分
∵四边形 为正方形. ∴
由 ∴ ∴ ………………4分
又∵四边形 为直角梯形， ， ， ，
∴ ， 则有 ∴
由 ∴ ∴ ……………6分
（２）连结 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
易见 平面 ，且 .…………8分
∵ ……………9分
……………11分
∴ 几何体 的体积为 …………12分
21.（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点 在坐标轴上，其离心率为 ，且与 轴的一个交点为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C过点 ，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线 ， 到 的距离分别为 .探究： 是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆 在其上一点 处的切线方程是 )；
（3）求（2）中 的取值范围.
解答：
由题， ，因为椭圆C与 轴的一个交点为 ，则
若 ，则 ，则椭圆C方程为 ；
若 ，则 ，则椭圆C方程为 .
故所求为者 或
因为椭圆C过点 ，故椭圆C方程为 ，且
设 ，则 的方程是 ，
则 ，因为 ，故 ，
故 ，又因为 ，代入可得 ，故 为定值 ；
由题
因为 ，故 .
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