2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若复数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2、若集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、已知函数 的最小正周期为 ，则 （ ）
A．1 B． C．-1 D．
4、在区间 内随机取出一个实数 ，则 的概率为（ ）
A．0.5 B．0.3
C．0.2 D．0.1
5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A．2014
B．2013
C．1008
D．1007
6、已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．0
C．-10 D．-1 5
7、如图 为互相垂直的两个单位向量，则 （ ）
A．20 B．
C． D．
8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下
一个半径为 ，深 的空穴，则取出该球前，球面上
的点到冰面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
9、设 是等差数列 的前n项和，且 成等比数列，则 等于（ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．3
10、已知函数 ，则它们的图象可能是（ ）
11、已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12、在 中，内角 所对的边分别为 ，且 边上的高为 ，则 取得最大值时，内角 的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
13、已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为
14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的
表面积为
15、直线过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆
交于 两点， 为弦 的中点， 为原点，若
是以线段 为底边的等腰三角形，则直线的斜率为
16、设互不相等的平面向量组 ，满足：① ；② ，
若 ，则 的取值集合为
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 。
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长的最大值。
18、（本小题满分12分）
已知等差数列 的前 项和为 ， 为等比数列，且 ， 。
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 。
19、（本小题满分12分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：
规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。
（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；
（2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数 的分布列及数学期望。
20、（本小题满分12分）
在三棱锥 中， 。
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值的绝对值。
21、（本小题满分13分）
已知：过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两个不同的点，过 分别作抛物线的切线，且二者相交于点
（1）求证： ；
（2）求 的面积的最小值。
22、（本小题满分13分）
已知函数
（1）若直线过点 ，并且与曲线 相切，求直线的方程；
（2）设函数 在 上有且只有一个零点，求 的取值范围。
（其中 为自然对数的底数）
2015年保定市高三调研考试理科答案
一.选择题：CBADD BCBCB AD
二.填空题：13．40． 14. 15. 16.
17、解：（1） 因为 …………2分
………………………………………………………4分
（2）由（1）知，
由 ,得 ，……………7分
所以
所以 ，
所以 周长的最大值为21……………………………………10分
18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意可得： ………………3分
解得q=2或q= (舍)，d=2．
∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1， ……………………6分
数列{bn}的通项公式是 ． ……………………7分
（2）Tn=
∴2Tn= ……………………9分
∴-Tn=
∴Tn= ， …………………………………………12分
19解：（1）甲厂平均值为 …2分
乙厂平均值为 …………4分
所以甲厂平均值大于乙厂平均值………………………………5分
（2） 的取值为0，1，2，3. ………………………………6分
………………………………10分
所以的分布列为
0 1 2 3
故 ………………12分
20.解：（1）设 为 中点，连结 ，
， ,
⊥ ， . -----------------2分
同理, ⊥ ，
∴ ⊥平面
所以 ⊥ --------------------5分
（2）如图,建立空间直角坐标系 .其中AB∥x轴
易得 ,又
则 ，A , ， ， ------7分
， .
设平面 的法向量为 ，
则 .
平面 的一个法向量 . --------9分
,
同理可求得平面CBP的一个法向量为
.-----------------12分
21. （1）证明：设LAB： ,代入 得
……………………2分
所以 ……………………………………………6分
②若k=0，显然 …………………………………7分
（或
…………………………7分）
（2）解由（1）知，点C到AB的距离 …………………8分
22. 解：（1）设切点坐标为 ，则 切线的斜率为
所以切线的方程为 ………………2分
又切线过点（1，0），所以有
即 解得
所以直线的方程为 …………………………………………4分
（或：设 ，则
单增， 单减
有唯一解，
所以直线的方程为 …………………………………………4分）
(2）因为 ，注意到g（1）=0
所以，所求问题等价于函数 在 上没有零点.
因为
所以由 ＜0 ＜0 0＜ ＜ ＞0 ＞
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.……………6分
①当 即 时， 在 上单调递增，所以 >
此时函数g（x）在 上没有零点………………………………7分
②当1＜ ＜e，即1＜a＜2时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为g（1）=0,g(e)=e-ae+a， 在 上的最小值为
所以，（i）当1＜a 时， 在 上的最大值g(e) 0，即此时函数g（x）在 上有零点。………………………………8分
（ii）当 ＜a＜2时， g(e) ＜0，即此时函数g（x）在 上没有零点.…10分
③当 即 时， 在 上单调递减，所以 在 上满足 ＜ 此时函数g（x）在 上没有零点
综上，所求的a的取值范围是 或 ＜a………………………………………12分
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