2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试
数学试题（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若复数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2、已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、已知函数 的最小正周期为 ，则 （ ）
A．1 B． C．-1 D．
4、在区间 内随机取出一个实数 ，则 的概率为（ ）
A．0.5 B．0.3
C．0.2 D．0.1
5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A．2014
B．2013
C．1008
D．1007
6、已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．0
C．-10 D．-1 5
7、如图 为互相垂直的两个单位向量，则 （ ）
A．20 B．
C． D．
8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下
一个半径为 ，深 的空穴，则取出该球前，球面上
的点到冰面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
9、已知等比数列 中，若 成等差数列，则公比 （ ）
A．1 B．1或2 C．2或-1 D．-1
10、已知函数 ，则它们的图象可能是（ ）
11、已知函数 ，且 ，若函数 在区间 上的最大值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
12、在 中，内角 所对的边分别为 ，且 边上的高为 ，则 取得最大值时，内角 的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、若 时， ，则 的取值范围是
14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的
表面积为
15、已知圆 与直线
相切，则
16、设互不相等的平面向量组 ，满足：① ；
② ，若 ，则 的取值集合为
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 。
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长的最大值。
18、（本小题满分12分）
已知等差数列 的前 项和为 ， 为等比数列，且 ， 。
（1）求数列 ， 的通项公式；
19、（本小题满分12分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：
规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。
（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；
（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率。
20、（本小题满分12分）
在棱锥 中， 平面 平面 ， 是 的中点， .
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的高。
21、（本小题满分13分）
已知函数 ，其中 。
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。
21、（本小题满分13分）
已知：过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两个不同的点，过 分别作抛物线的切线，且二者相交于点
（1）求证： ；
（2）求 的面积的最小值。
2015年保定市高三调研考试文科答案
一.选择题：CBADD BCBCB AD
二.填空题：13 ; 14. . 15. 3. 16.
17、解：（1） 因为 …………2分
………………………………………………………4分
（2）由（1）知，
由 ,得 ，……………7分
所以
所以 ，
所以 周长的最大值为21……………………………………10分
18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意可得： ………………3分
解得q=2或q= (舍)，d=2．
∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1， ……………………6分
数列{bn}的通项公式是 ． ……………………7分
（2）Tn=
∴2Tn= ……………………9分
∴-Tn=
∴Tn= ， …………………………………………12分
19解：（1）甲厂平均值为 …2分
乙厂平均值为 …………4分
所以甲厂平均值大于乙厂平均值………………………………5分
（2）记含量为10和13毫克的两件为 ，其他非优质品分别为 则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本事件有：
共15个.………………………………8分
“至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有： 共9个，………10分
故所求概率 ……………………………12分
20. (1)证明：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB=AC ，F是BC的中点，所以AF⊥BC，
∴AF⊥平面BCD
所以AF⊥FE…………………………………………………2分
在△DEF中，
所以DF⊥EF，……………………5分
∴EF⊥平面AFD，故FE⊥AD………………………………………6分
(2) 解：由（1）知DF⊥EF，所以S△DEF= DF×EF= ……7分
（或：又DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，所以DC∥EB
因为S△DEF=S梯形BCDE-S△DCF- S△BEF= ……7分）
在△DEF中，
所以，由余弦定理得 ……9分
所以S△DEA=
设三棱锥F—ADE的高h，则 S△DEF×AF=
所以h=1，即三棱锥F—ADE的高为1……………………12分
21.解：（1）定义域为 ，……………………2分
①当 时， ，
在定义域 上单调递增；……………………4分
②当 时，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减。
函数 的单调递增区间： ，单调递减区间： ………………7分
（2） 对任意 恒成立
令 ，所以 ………………10分
在 上单调递增，在 上单调递减
， ……………………12分
22. （1）证明：设LAB： ,代入 得
……………………2分
所以 ……………………………………………6分
②若k=0，显然 …………………………………7分
（或
…………………………7分）
（2）解由（1）知，点C到AB的距离 …………………8分
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