包头市第一中学2015届高三上学期期末考试
数学（理）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的代码填在答题卡上）
1．已知集合 = （ ）
A． B．
C． D．
2．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80~100分的学生人数是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
3．已知圆的方程为 ，设该圆过点 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
4．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 （ ）
A．2 B．4 C． D．
5．函数 按向量 平移后得到的函数解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
7．若变量x，y满足条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B．0 C．3 D．4
8．某同学设计如图的程序框图用以计算
的值，则在判断框中应填写（ ）
A． B． C． D．
9.设偶函数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．直三棱柱 中， ， 、 分别是 ， 的中点， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得 为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
12．已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ） A． B． [来源:学优高考网]
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）
13.抛物线 的焦点坐标是 .
14．已知函数 有零点，则a的取值范围是 ．
15. 设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：①若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ∥ ；②若 外的一条直线 与 内的一条直线平行，则 ∥ ；③设 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 ；④直线 的充要条件是 与 内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是 .
16.在 中， 为 边上的一点， ， ， ，若 ，则 .
三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数 .
⑴求 的最小正周期；
⑵求 在区间 上的最大值和最小值.
18.（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
⑴求角 的大小；
⑵ 若 ，求 的面积.
19．（本小题满分12分）
设 为数列{ }的前项和，已知 ，2 ， N
⑴求 ， ，并求数列｛ ｝的通项公式；
⑵求数列｛ ｝的前 项和.
20. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形， ，PD∥QA， .
⑴证明： ；
⑵求二面角 的余弦值.
21. （本小题满分12分）
如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩形ABCD的面积为8.
⑴求椭圆M的标准方程；
⑵设直线 与椭圆M有两个不同的交点 与矩形ABCD有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时m的值. [来源:gkstk.Com]
22. （本小题满分12分）
已知函数 满足满足 ；
⑴求 的解析式及单调区间；
⑵若 ，求 的最大值.
包头一中2014——2015学年度第一学期期末考试
高三年级理科数学试题答案 2015.1.18
三、17.解： …………………………4分
⑴ ； …………………………6分
⑵ ， ……………10分
18. 解：（Ⅰ）由已知得到： ，且 ，且 ； …………………………6分
（Ⅱ）由（1）知 ，由已知得到：
，
所以 ； …………………………12分[来源:gkstk.Com]
设 是平面PBC的一个法向量，则 ，即 ，
因此可取 ………………7分
设 是平面PBQ的一个法向量，则 ，即 ，
因此可取 ，………………9分
所以 ，…………11分
因为二面角Q-BP-C为钝二面角
故二面角 的余弦值为 ………………12分
21. (I) ……①
矩形ABCD面积为8，即 ……②
由①②解得： ，∴椭圆M的标准方程是 . ………………4分[来源:学优高考网gkstk]
(II) ，
设 ，则 ，
由 得 . ………………5分
. ………………6分
当 过 点时， ，当 过 点时， .
①当 时，有 ，[来源:学优高考网]
，
其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 . ……8分
②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 . ………………9分
③当 时， ， ，
由此知，当 时， 取得最大值 . ………………11分
综上可知，当 和0时， 取得最大值 . ………………12分
22. （1） [来源:gkstk.Com]
令 得：
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