滕州市第一中学2015届高三1月期末通练
数学（理）试卷
一.选择题（每题5分，共10题）
1.设 是两个非空集合，定义运算 ，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知是 实数，若复数 是纯虚数，则 （ ）
A. B. C. D.
3.在 中，角 所对的边为 .若 ，则 A. B. C. D. （ ）
4.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（ ）
A.3个 B.4个 C.99个 D.100个
5. 小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 （ ）
A. B. C. D.
6.若函数 的图象上的任意一点 满足条件 ，则称函数 具有性质 ，那么下列函数值具有性质 的是 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知下列命题：
①设m为直线， 为平面，且m ，则“m// ”是“ ”的充要条件；
② 的展开式中含x3的项的系数为60；
③设随机变量 ～N(0，1)，若P( ≥2)=p，则P(-2< <0)= ；
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是( ，2)；
⑤已知奇函数 满足 ，且0<x< 时 ，则函数 在[ ， ]上有5个零点．
其中所有真命题的序号是 （ ）
A.③④ B.③ C.④⑤ D.②④
8.在边长为1的正方形 中， 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
9.已知抛物线 的焦点为 是抛物线上横坐标不相等的两点，若 的垂直平分线与 轴的交点是 ，则 的最大值为 （ ）
A.2 B.4 C.10 D.6
10.函数 在区间 上零点的个数为 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二．填空题
11. 某程序的框图如上右图所示，执行该程序，
若输入的 为l6，则输出的 的值为 .
12.某校开设9门课程供学生选修，其中 3门课由于
上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，
则不同选修方案共有 种.
13.已知圆 和两点 ，
若点 在圆 上且 ，则满足条件的 点有 个.
14.在 中， 为 上一点，且 ， 为 上一点，且 ，则 取最小值时，向量 的模为 .
15.已知函数 的图象与直线 的交点为 ，函数 的图象与直线 的交点为 ， 恰好是点 到函数 图象上任意一点的线段长的最小值，则实数 的值是 .
三．解答题
16.（12分）已知
（1）求函数 的最小正周期和函数在 上的单调减区间；
（2）若 中， ，求角 .
17.（12分）
如图，在四棱锥 中， ,四边形 是菱形， ,且 交于点 ， 是 上任意一点.
(1)求证： ；
（2）已知二面角 的余弦值为 ，若 为 的中点，
求 与平面 所成角的正弦值.
18.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为 ，求 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
19.（12分）已知点 在函数 的图象上.
(1)若数列 是等差数列，求证：数列 是等比数列；
(2)若数列 的前 项和 ，过点 的直线与两坐标轴所围图形的面积为 ，求最小的实数 ，使得对任意的 ， 恒成立.
20.（13分）设函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若存在区间 ，使 在 上的值域是 ，求 得取值范围.
21.（14分）已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点.试问 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
17解：（1）因为 平面 ，所以 ，因为四边形 为菱形，所以 又 因为 ５分
（2）连接 在 中， 所以 分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 则 ， ，由（1）知，平面 的一个法向量为 得 ，令 ，得 ……８分
因为二面角 的余弦值为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以 …………１０分
设 与平面 所成的角为 .因为 ， ，所以 所以 与平面 所成角的正弦值为 .１２分
18. 解：（1） 可能取值有 ，10，20，100 ， ， ，
……………４分
故分布列为
10 20 100
P
（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是 则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 ……９分
（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为 的数学期望是 分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．……１２分
19.解：(1)设数列 的公比为 ，则 对 恒成立，依题意的 ，则 ，所以 是非零常数，从而数列 是等比数列.４分
（2）当时 ， ，当 时， ， 也满足此式，
所以数列 的通项公式是 .…………６分
由 可得， .所以 .
从而过着两点的直线方程是 ，可得此直线与坐标轴的交点 .因此 ，…………１０分
由于 ，所以数列 单调递减，即数列的 最大项为 ，要使任意的 ， 恒成立，只需 .所以实数 的最小值为 .……………………１２分
20解：（1）由题意得，函数 的定义域是 , ,令 则 ,当 即 时，函数 单调递减;当 即 时,函数 单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 的最小值为 ，所以 ，即 的单调递增区间是 .…………６分
（2）由（1）得 在区间 上单调递增，又 在 上的值域是 ，所以 其中 ，
从而 ，由 得 ，
令 ，则 ，
令 则 ，
所以 在 上单调递增， ,
当 时， ,所以 ，
当 时， ,所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，
故由题意可知 ，解得 ，
即 的取值范围是 .……………………１３分
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