安庆市2014～2015学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（A）参考答案及评分标准
一、选择题
1. B 【解析】 ，∴ .
2. A 【解析】∵ ，∴ .
又 ，∴( )∩B .
3. D 【解析】由 ，得公比 .∴ .
4. C 【解析】 .
5. C 【解析】由 ，得 .
由 ，得 ，所以 .
6. B 【解析】几何体的上半部是半个圆锥，下半部是圆柱，
7. D 【解析】根据题设知直线 的方程为 ，由直线 与圆 相切，得 ，所以 .
8. C 【解析】 ，
由 ，得 .
9. A 【解析】当 时， ，易证 .又函数 的图象与 的图象关于直线 对称，所以 ，从而 .故若 ，有 ；若 ，因为当 时， ，显然 单调递增.又 ， ，所以 是 唯一的零点，且 .
所以当 时，由 得 .
10. D 【解析】由 ，可得 .又满足条件的实数 的整数值只有1，2，3，所以 ， ，即 ， .
所以 ，2，…，9； ，26，…，31，32.
故有序实数对 共有 对.
二、填空题
11. 若 或 ，则 .
12. 4 【解析】 ， ， ，
由 ，得 .
13. 【解析】将 两边取对数得，
，∴ ，
得 或 .∴ 或 .
14. 【解析】根据题意可知满足条件的可行域为一个三角形内部（包括边界），故 的最值应在三角形的顶点处取得，而其中一个顶点为 不符合题意，另一个顶点 应为 的最小值点，所以 ，那么第3个顶点满足 ，得第3个顶点 .
所以 ，所以 .
15 ① ②
【解析】① 设 ( 为常数)，由 得 ，
∴ 或 . 当 时， 可以取任何实数.
② 若 是一个 伴随函数，则 ，
即 对任意的实数 成立，∴ ，无解.
③ 由 得 .作函数 和 的图象，易知满足 的 存在.
④ 由 ，令 得 .若 ，则 为 的一个零点；若 ，则 .因为 的图象是连续的，所以 在区间 内至少有一个零点.
三、解答题
16. 【解析】（1）根据 和正弦定理，可得
.
在△ 中， ，所以 ，故 . ………6分
（2） ， .
由 ，得 .
所以 的单调增区间 ( ). …………12分
17. 【解析】（1）由题设可知 // ， // ，从而 //平面 ， //平面 .因为 和 在平面 内，所以平面 //平面 .
又 在平面 内，所以 // 平面 . …………5分
（2）由条件知 ，若 ，则△ 为等边三角形，取 中点 ，连 ，则 ⊥ .
因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，因此 ⊥平面 ，
从而可以建立如图所示的空间直角坐标系 .
由 ， ，易得 ， 、 .由∠ ∠ °可得 .
所以 ， ， .
设平面 和平面 的法向量分别为 ， ，则
可取 ， ，
所以 .
故所求的二面角的余弦值为 . …………12分
18. 【解析】（1）笨鸟第四次能飞出窗户的概率
. …………4分
（2）用 表示聪明鸟试飞次数，则 ， ， .
其分布列为
1 2 3
…………8分
（3）用 表示笨鸟试飞次数，
则
. …………12分
19. 【解析】（1）因为 ， ， ，所以当 时， 的定义域为 ；当 时， 的定义域为 .
又 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 有极小值 ；
当 时， ， ，所以 在 上单调递增，无极值. …………6分
（2）解法一：
当 时， ，由（1）知当且仅当 时， .
因为 ， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，当且仅当 时， .
当 ≤0时，由于 ， ，所以 恒成立；
当 时， ，要使不等式 恒成立，只需 ，即 .
综上得所求实数 的取值范围为 . …………13分
解法二：
当 时， ，所以 ， ，
故 .
令 ，则 .
由（1）可知 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 .
故当 时，不等式 恒成立. …………13分
20. 【解析】（1）设点 的坐标为 ，则由题意知点 的坐标为 .
因为 在圆 ： 上，所以 .
故所求的动点 的轨迹 的方程为 （或 ）. ……4分
（2）① 当直线 垂直于 轴时，由 易知 ， ，所以 ，不符合题意. …………6分
② 当直线 与 轴不垂直时，设其方程为 ，代入 ，整理得 .
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
.
从而
. …………9分
注：若学生利用相交弦定理，也可给分.
具体解法如下：设圆 与 轴的两交点分别为 、 ，根据相交弦定理得 .
将 代入 ，整理得 .
.
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
.
从而 .
故 .…………12分
注： 也可由弦长公式或焦半径公式求解.
综上，存在两条符合条件的直线 ，其方程为 . ……13分
21. 【解析】（1）当 时， ，
同理可得 . …………2分
（2）若 ，由 ，得 或 .
① 当 时，由 ，可得 或 .
若 ，则由 ，得 或 ；
若 ，则由 ，得 ， 不存在.
② 当 时，由 ，得 ，再由 得 .
故当 或 或 时， . …………7分
（3）因为 且 ，所以
.
下面证明对一切的 ， ， .
ⅰ) 时已证明结论的正确性；
ⅱ)设 ( ， )，则
.
故对一切的 ， ，都有 .
所以 . …………13分
