河南省开封市2015届高三第二次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题） 和第Ⅱ卷（ 非选择题） 两部分, 其中第Ⅱ卷第（ 22） - （ 24）
题为选考题,其他题为必考题。考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效。考试结束
后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1．答题前,考生务必先将自己的姓名, 准考证号填写在答题卡上, 认真核对条形码上的姓名、 准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0 ．5 毫米的黑色中性（ 签字） 笔或碳素笔书写, 字体工整,笔迹清楚。
3 ．请按照题号在各题的答题区域（ 黑色线框） 内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁,不折叠, 不破损。
5．做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式:
样本数据x1 , x2 ,…x n 的标准差 锥体体积公式
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高
柱体体积公式 球的表面积, 体积公式
其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径
第 Ⅰ 卷
一、 选择题: 本大题共12 小题, 每小题5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U = R,集合 M= {x | y = lg（ x2- 1） } , N= { x|0 < x < 2} ,则 N ∩（ 瓓UM ） =
A．{ x | - 2 ≤x < 1} B．{ x | 0 < x ≤1}
C．{ x | - 1 ≤x ≤1} D．{ x | x < 1}
2．若（ 1 + 2 ai ）i = 1 - b i ,其中a 、 b ∈ R,i 是虚数单位,则| a + b i | =
A． + i B．5 C． D．
3．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“ x ∈R,均有x2- x + 1 > 0”的否定是:“x0 ∈R, 使得 ”;
B．在 △ABC 中,“ s i nA > s i nB”是“A > B”成立的充要条件;
C．线性回归方程y = + a 对应的直线一定经过其样本数据点（ x 1 , y1）、（ x2 , y2）、…,
（x n, y n） 中的一个;
D．在2 ×2 列联表中,ad - b c 的值越接近0 ,说明两个分类变量有关的可能性就越大．
4 ．已知a > b > 0 ,椭圆 C1 的方程为 ,双曲线 C2 的方程为 ,C1 与 C2 的离心率之积为 , 则 C1 、 C2 的离心率分别为
A． ，3 B． C． ，2 D．
5 ．某几何体的三视图如图所示, 正视图、 侧视图、 俯视图都是边
长为1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为
A．3π B．4π
C．2π D．
6 ．函数 f（ x） = s i n（ω x + φ ）（ x ∈R ）（ ω> 0 , | φ | < ）
的部分图象如图所示, 如果x1 、 x2 ∈ ,且f（x1） =
f（x2） , 则f（x1 + x2） 等于
A． B． C． D．1
7 ．给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与
输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8 ．有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、 白菊花2 盆、 红
菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必
须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆
放种数是
A．12 B．24
C．36 D．48
9 ．若s i nθ+ cosθ= 2 , 则ta n（ θ+ ） 的值是
A．1 B．- 3 - 2
C．- 1 + 3 D．- 2 - 3
10 ．三棱锥 S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° ,
△ABC 是斜边 AB = a 的等腰直角三角形,则以
下结论中:
① 异面直线 SB 与AC 所成的角为90° ;
② 直线 SB ⊥ 平面 ABC ;
③ 平面 SBC ⊥ 平面SAC;
④ 点 C 到平面SAB 的距离是 a ．
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设实数x 、 y 满足 , 则z = m a x{2x + 3y - 1 , x + 2y + 2} 的取值范围是
A．[ 2 ,5] B．[ 2 ,9] C．[ 5 ,9] D．[ - 1 ,9]
12 ．已知函数y = f （ x - 1） 的图象关于点（ 1 ,0） 对称,且当 x ∈（ - ∞,0） 时,
f （ x） + xf' （ x） < 0 成立（ 其中f' （ x） 是f （ x） 的导函数） ,若a = （ 30 ．3） •f （ 30 ．3） ,b = （ log π 3） •f （log π 3） ,c = （ log3 ）•f （log 3 ） ,b ,c 的大小关系是
A．a > b > c B．c > a > b C ．c > b > a D．a > c > b
第 Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第（ 13） 题 ～ 第（ 21） 题为必考题, 每个试题考生都必
须做答,第（ 22） 题 ～ 第（ 24） 题为选考题, 考试根据要求做答。
二、 填空题: 本大题共4 小题,每小题5 分．
二、 填空题: 本大题共4 小题,每小题5 分．
13 ．设a = ,则二项式 展开式中的常数项为 ．
14 ．在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为a ,b ,c , 且 C = π ,s i nA = ,c - a = 5 - 10 , 则b = ．
15 ．若函数 f（ x） = log a（ x + 且a ≠1） 的值域为 R, 则实数a 的取值范围是 ．
16 ．已知a , b , 是单位向量,a •b = 0 , 若向量c 与向量a ,b 共面, 且满足| a - b - c | = 1 , 则| c | 的取值范围是 ．
三、 解答题: 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤
17 ．本小题满分12 分）
等差数列{ an} 中公差d ≠0 , a1 = 3 ,a1 、 a4 、 a13 成等比数列．
（Ⅰ） 求a n ;
（Ⅱ） 设{ an} 的前n 项和为S n ,求: 。
18 ．本小题满分12 分）
某公司开发一新产品有甲、 乙两种型号,现分别对这两种型号产品进行质量检测, 从它们的检测数据中随机抽取8 次（ 数值越大产品质量越好） , 记录如下:
甲:8 ．3 , 9 ．0 , 7 ．9 , 7 ．8 , 9 ．4 , 8 ．9 , 8 ．4 , 8 ．3
乙:9 ．2 , 9 ．5 , 8 ．0 , 7 ．5 , 8 ．2 , 8 ．1 , 9 ．0 , 8 ．5
（Ⅰ） 画出甲、 乙两产品数据的茎叶图;
（Ⅱ） 现要从甲、 乙中选一种型号产品投入生产, 从统计学角度, 你认为生产哪种型号产品合适?简单说明理由;
（Ⅲ） 若将频率视为概率, 对产品乙今后的三次检测数据进行预测, 记这三次数据中不低于8.5 分的次数为ξ , 求ξ的分布列及期望Eξ ．
19 ．本小题满分12 分）
如图,在三棱柱ABC - A1 B1 C1 中,AB ⊥AC,AC ⊥BB1 , AB = A1 B = AC = 1 ,BB1 = 2 .
(Ⅰ) 求证: A1 B ⊥ 平面 ABC ;
(Ⅱ) 若P 是棱B1 C 1 的中点,求二面角P - AB - A1 的余弦值.
20 ．本小题满分12 分）
已知函数 （ 其中a ∈ R ） ．
（Ⅰ） 若 x = 0 为f （ x） 的极值点, 求a 的值;
（Ⅱ） 在（ Ⅰ） 的条件下,解不等式
21 ．本小题满分12 分）
已知抛物线C: x2= 2 py（ p > 0） 的焦点为F , 抛物线上一点A的横坐标为x 1（ x1 > 0） ,过点 A 作抛物线C 的切线l1 交x 轴于点D , 交y 轴于点Q ,交直线l ∶y = 于点 M,当| FD| = 2 时,∠AF D = 60° ．
（ Ⅰ） 求证: △AFQ 为等腰三角形, 并求抛物线 C 的方程;
（ Ⅱ） 若点 B 位于y 轴左侧的抛物线C 上, 过点B 作抛物线C 的切线l2 交直线l1 于点P , 交直线l 于点 N , 求 △P MN 面积的最小值, 并求取到最小值时的x1 值．
22 ．（ 本小题满分10 分） 选修4 - 1 : 几何证明选讲
如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC = 90° , 以AB 为直径
的圆交AC 于点E ,点 D 是BC 边的中点, 连OD 交圆O 于
点 M．
（Ⅰ） 求证: O, B, D, E 四点共圆;
（Ⅱ） 求证:2 DE2= DM•AC + DM•AB ．
23 ．本题满分10 分） 选修4—4 : 坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 为参数） , 若以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ= 2cos（θ+ ）
（ Ⅰ） 求直线l 被曲线C 所截得的弦长;
（ Ⅱ） 若 M （ x , y） 是曲线 C 上的动点, 求xy 的最大值．
24 ．本小题满分10 分） 选修4—5 : 不等式选讲
已知函数 f （ x） = | x - 1 |
（ Ⅰ） 解不等式 f （ 2 x） + f （ x + 4） ≥8 ;
（ Ⅱ） 若| a| < 1 , | b | < 1 , a ≠0 , 求证:
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