2015届高三漳州八校第二次联考数学理科试卷
命题：芗城中学高三理科备课组
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内
填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中
有且只有一个答案是正确的，把正确选项填在答题卡的相应位置上．）
1．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如果 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．“ ”是“函数 有零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 若程序框图如右图所示,则该程序运行后输出 的值是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6．在等差数列 中，若 ，则此数列的
前13项的和等于（ ） A．8 B．13 C．16 D．26
7．平面向量 、 满足 ，且 ， ，
则 与 的夹角等于（ ）A． B． C． D．
8．已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ）
A．若 ，且 ，则 B．若 ，且 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ，且 ，则
9．设 ，则二项式 展开式中的 项的系数为（ ）
A . B. 20 C. D. 160
10．对于定义域为 的函数 和常数 ，若对任意正实数 ， 使得 恒成立，则称函数 为“敛 函数”．现给出如下函数：
① ；② ；③ ；④ .
其中为“敛1函数”的有 （ ）A．①② B．③④ C． ②③④ D．①②③
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
11．已知随机变量 ，若 ，则 等于
12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
13．设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为6，则 ______.
14．．已知函数 ，若二次函数 满足：① 与 的图象在点 处有公共切线；② 是 上的单调函数.则 = .
15. 已知 ，过点 作一直线与双曲线 相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角 或 ；类比此思想，已知 ，过点 作一直线函数 的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分13分）
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望．
17.（本小题满分13分）
已知函数 （ ）的周期为4。
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）将 的图象沿 轴向右平移 个单位得到函数 的图象，
、 分别为函数 图象的最高点和最低点（如图），求 的大小。
18．(本题满分13分）
如图, 是边长为 的正方形， 平面 ， ， ， 与平面 所成角为 .
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值；
(Ⅲ)设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，使得 平面 ，并证明你的结论.
19．（本小题满分13分）
如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足．设 为线段 的中点．
（Ⅰ）当点 在圆 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）若圆 在点 处的切线与 轴交于点 ，试判断直线 与轨迹 的位置关系．
20．(本小题满分14分)设函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）已知 ，若函数 的图象总在直线 的下方，求 的取值范围；
（Ⅲ）记 为函数 的导函数．若 ，试问：在区间 上是否存在 （ ）个正数 … ，使得 成立？请证明你的结论.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A= 有一个属于特征值1的特征向量 .
(Ⅰ) 求矩阵A；
(Ⅱ) 若矩阵B= ，求直线 先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （为参数）．
（Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与 轴的交点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值.
（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
设实数 满足 ．
（Ⅰ）若 ，求a的取值范围；（Ⅱ）若 ，且 ，求 的最大值．
2015届高三漳州八校第二次联考数学理科试卷参考答案
一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
DDABA BBACC
二、填空题: （本大题共5小题，每小题4分，共20分）
0．3 2 或
三、解答题：
16. （Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件 ，则 ，
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为 ． ………………4分
（Ⅱ）解：随机变量 的所有取值为 ． ………………5分
， ， ， ， ． ………………10分
所以，随机变量 的分布列为:
………11分
． ………………13分
17.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．
解：（1） --------------------------1分
-------------------------------------3分
-------------------------------------5分
-------------------------------------6分
（2）将 的图像沿 轴向右平移 个单位得到函数 ---------------------------7分
因为 、 分别为该图像的最高点和最低点，所以 - -------------------9分
所以 ----------------------------------------------------------------------------10分
--------------------------------------------------12分
所以 ---------------------------------------------------------------------------------------13分
18.(Ⅰ)证明： 因为 平面 ， 所以 . ……………2分
因为 是正方形，所以 ，又 相交
从而 平面 . …………………4分
(Ⅱ)解：因为 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 如图所示.因为 与平面 所成角为 ，即 ， 5分
所以 .由 可知 ， . …6分
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ………7分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 . ………8分
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ，
所以 . ……9分
因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . ………10分
(Ⅲ)解：点 是线段 上一个动点，设 . 则 ，
因为 平面 ，所以 ,……11分
即 ，解得 . ………12分
此时，点 坐标为 ， ，符合题意. …………13分
19．解：（Ⅰ）设 ，则 ． 点 在圆 上， ，
即点 的轨迹 的方程为 ．…………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：（i） 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ．显然与轨迹 相切；
（ii）当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 ．………………7分
又直线 的斜率等于 ，点 的坐标为 ．
所以直线 的方程为 ，即 ． …………………………9分
由 得 ．
．故直线 与轨迹 相切．
综上（i）（ii）知，直线 与轨迹 相切． ……………………………………………13分
解法二 ：设 （ ），则 ．……………………………………5分
（i）当 时，直线 的方程为 或 ，此时，直线 与轨迹 相切；
（ii）当 时，直线 的方程为 ，即 ．
令 ，则 ． ，又点 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．………………9分
由 得 即 ．
．所以，直线 与轨迹 相切．
综上（i）（ii）知，直线 与轨迹 相切．……………………………………………13分
20．本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分12分．
解：（Ⅰ）当 时， ， ， ，
所以切线的斜率为 .…………………………………………2分
又 ，所以切点为 .
故所求的切线方程为： 即 .………………………………4分
（Ⅱ） ， ， .………………………6分
令 ，则 .当 时， ；当 时， .
故 为函数 的唯一极大值点，所以 的最大值为 = .8分
由题意有 ，解得 . 所以 的取值范围为 .……………………10分
（Ⅲ）当 时， . 记 ，其中 .
∵当 时， ，∴ 在 上为增函数，
即 在 上为增函数. …………………………………………12分
又 ，所以，对任意的 ，总有 .
所以 ，
又因为 ，所以 .故在区间 上不存在使得 成立的 （ ）个正数 … . …………14分
21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得 ，所以 …………2分
解得 故A= . ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA= = ，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线 上的两点（0，1），（-1，2），……………………………4分
， ，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） ……………………………6分
从而直线 在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为 .…………7分
（2）解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程可化为 ，又 ,
所以曲线 的直角坐标方程为 …………………3分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 ,…………4分
令 ,得 ,即 点的坐标为(2,0). 又曲线 为圆，圆 的圆心坐标为(0,1)，
半径 ，则 ,……………………………………………………6分
所以 .即 的最大值为 ……………………7分
（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲
本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．
解：（Ⅰ）由 得 ，即 = ．
所以 可化为 ，即 ，解得 ．
所以 的取值范围 ．…………………………………………4分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，……6分
当且仅当 时，等号成立．故 的最大值为27．…………………………7分
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