2014-2015学年上学期高三数学（文科）期末八校联考试卷
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∩B等于（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{1，2}
2．设i为虚数单位，复数 等于（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i
3．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）
A．π B．2π
C．3π D．4π
4．执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
5．已知{an}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
6．双曲线 的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
7．已知sin（ +α）= ，α∈（0， ），则sin（π+α）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1
C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1
9．双曲线x2﹣y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 均为单位向量，那么 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
11．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣ ，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣ ，+∞）
12．G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：
①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；
②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；
③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；
④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为320的样本，已知从学生中抽取的人数为280，那么该学校的教师人数是 ．
14．已知函数f（x）=mx2+nx﹣2（m＞0，n＞0）的一个零点是2，则 的最小值为 ．
15．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为 圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为 ．
16．已知函数f（x）= ，若关于x的不等式f（x）≥m2﹣ m有解，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
17．等差数列{an}中，已知a1=3，a4=12，
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a2，a4分别为等比数列{bn}的第1项和第2项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
18．已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量 =（2sinB， ）， ，且 ⊥ ，
（1）求f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．
19．沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的 倍．
（1）求a，b的值；
（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率．
20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．
21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣ 和x=1
（1）求b，c的值与f（x）的单调区间
（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）过点（1， ），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
2014-2015学年上学期高三数学（文科）期末八校联考答案
一、选择题： CDCBA ADAAB AA
二、填空题：13. 300 14. 8 15. 16.
三、解答题：
17. 解：（I）设数列{an}的公差为d，
由已知有 （2分）
解得d=3 （4分）
∴an=3+（n﹣1）3=3n （6分）
（Ⅱ）由（I）得a2=6，a4=12，则b1=6，b2=12， （8分）
设bn的公比为q，则 ， （9分）
从而bn=6•2n﹣1=3•2n （11分）
所以数列{bn}的前n项和 （12分）
18. 解：∵向量 =（2sinB， ）， =（2cos2 ﹣1，cos2B），且 ⊥ ，
∴ • =2sinBcosB+ cos2B=sin2B+ cos2B=2sin（2B+ ）=0， （2分）
∴2B+ =kπ，即B= π﹣ ，k∈Z，
∵0＜B＜ ，∴B= ， （4分）
（1）f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB=sin（2x﹣B）=sin（2x﹣ ）， （6分）
由2x﹣ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，得函数f（x）的单调减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z； （8分）
（2）由余弦定理得：16=a2+c2﹣2accos =a2+c2﹣ac≥ac， （10分）
∴S△ABC= acsin ≤4 ，
则△ABC面积的最大值为4 ． （12分）
19. 解：（1）由题意知：
解得： ， （4分）
（2）在（50，55]中有4个个体，在（55，60]中有2个个体，所以（50，60]中共6个个体．
所以从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数为 =15个， （8分）
设“至少有一个个体落在（55，60]之间”为事件A，
则A包含基本事件15﹣C =9个， （10分）
所以P（A）= = ． （12分）
20. 证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP= ．
又AB∥DE，且AB= ．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． （4分）
又∵AF 平面BCE，BP 平面BCE，
∴AF∥平面BCE （6分）
（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD又AF 平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE （10分）
又BP∥AF∴BP⊥平面CDE
又∵BP 平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE （12分）
21. 解：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，
∴f'（x）=3x2+2bx+c，
∵f（x）的极值点为x=﹣ 和x=1
∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（ ）= ﹣ b+c=0，
解得，b= ，c=﹣3 （4分）
∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），
当f'（x）＞0时，解得x＜﹣ ，或x＞1，
当f'（x）＜0时，解得﹣ ＜x＜1，
故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），单调减区间为（﹣ ，1），（6分）
（2）有（1）知f（x）=x3﹣ x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，
故函数在[﹣1，﹣ ）和（1，2]单调递增增，在（﹣ ，1）单调递减，（8分）
当x=﹣ ，函数有极大值，f（ ）= ，f（2）=2，
所以函数的最大值为2， （10分）
所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]时恒成立，
故m＞2
故实数m的取值范围为（2，+∞）. （12分）
22. 解：（1）∵椭圆 + =1（a＞b＞0）过点（1， ），
F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，
∴ ，解得 ，
∴椭圆的标准方程为 ．（4分）
（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆 相交，
P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，
F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，
由圆和椭圆的对称性，知 ，y1=y2，
|P1P2|=2|x1|，
由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），
所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥ ，
得﹣（x1+1）2+ =0，
由椭圆方程得1﹣ =（x1+1）2，即 =0，
解得 或x1=0．
当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
当 时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，
设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得 ，
而y1=|x1+1|= ，故 ，
圆C的半径|CP1|= = ．
综上，存在满足条件的圆，其方程为： = ．
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