2015届安庆一中、安师大附中统一考试试卷
数学（理）试卷
一、选择题( 每小题5分，计50分)
1、若 ，则 =（ ）
A、 B、 C、 D、
2、复数 满足 ，则 等于（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、 =（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为（ ）
A、 或 B、2或 C、2或1 D、2或
6、为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ）
A、向右平移 个单位 B、向右平移 个单位
C、向左平移 个单位 D、向左平移 个单位
7、数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ，则有（ ）
A、 B、
C、 D、 大小不确定
8、已知 ，若 的必要条件是 ，则 之间的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、已知球O是棱长为1的正方体 的内切球，则平面 截球O的截面面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为（ ）
A、232种 B、252种 C、472种 D、484种
二、填空题：( 每小题5分，计25分)
11、命题“存在 ，使 ”的否定是
12、已知函数 若函数 有3个零点，则实数 的取值范围是 。
13、设 为正整数， ，计算得 ， ， ，观察上述结果，可推测一般的结论为 。
14、双曲线C的左右焦点分别为 、 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为
15、若函数 存在与直线 平行的切线，则实数 的取值范围
是 。
三、解答题
16、（12分）在锐角 中，
（1）求角 ； （2）若 ，求 的取值范围。
17、（12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数 （万人）与时间 （天）的函数关系近似满足 ，日人均消费 （元）与时间 （天）的函数关系近似满足 。
（1）求该城市的旅游日收益 （万元）与时间 的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值（万元）
18、（13分）如图，棱锥 的底面ABCD是矩形， 平面ABCD， 。
求证：
（1） 平面
（2）求二面角 的余弦值
（3）在线段 上是否 存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为 ，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。
19、（13分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为2，且过点 。
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点A、B分别是椭圆E的左、右顶点，直线 经过点B且垂直于 轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交 于点M。
（1）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明 的定值；
（2）设过点M垂直于PB的直线为 ，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标。
20 、（13分）已知函数
（1）若函数 在区间 上为增函数，求 的取值范围；
（2）当 且 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值。
21、（13分）已知数列 的前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足： 且 ，求证： ；
（3）求证：
2015届安庆一中、安师大附中统一考试试卷
数学（理）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D D B A D C
9、D 截面为等边三角形，边长 ，
10、C 11、对任意 ，使
12、 13、
14、 （提示设 求出））
15、 ，设切点
但当 时切线与 重合
即 且
16、（1）由
且
（2）
又
17、（1）
（2）
当 时
等号 即 时取到。
时 在[15，30]上单减，
时， 取最小值为 。
综上：最小值为 （万元）。
18、（1）由勾股定理得 ，余略
（2）以AB、AD、AP为 建系
易求面 的法向量
面PBD的法向量
故所求值为
（3） 在DP上，可设
面PBD的法向量 ，记所求角为 ，
即
19、（1）
（2）（i）得
由 ，
（定值）
(ii)
由(i)知
直线
过定点 。
20、（1）
（2）
即 对任意 恒成立。
令 则
令
则 在 上单增。
存在 使
即当 时 即
时 即
在 上单减，在 上单增。
令 即
且
即
21、（1） ①
②
①-②得
①中令
综上
（2） 当 时， ，不等式成立；
假设 时，不等式
那么当 时
（由归设）
命题真；
综合 、 知当 时，
（3）设
在 上单减
即
又 时 由（2）知
即原不等式获证。
点击下载：安徽省安庆一中、安师大附中2015届高三第四次模考数学（理）试题
