江门市2015年高考模拟考试
数学（文科）2015.3
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
5． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
如果事件 、 互斥，那么 ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合 ， ，
A． B． C． D．
2． 是虚数单位，
A． B． C． D．
3．下列函数中，奇函数是
A． B． C． D．
4．已知向量 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
5．如图1，四棱柱 中， 、 分
别是 、 的中点．下列结论中，正确的是
A． B． 平面
C． D． 平面
6．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是
A． B． C． D．
7．若变量 、 满足约束条件 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向右平移 （ ）个单位长度，得到的曲线经过原点，则 的最小值为
A． B． C． D．
9．下列命题中，错误的是
A．在 中， 是 的充要条件；
B．在锐角 中，不等式 恒成立；
C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形；
D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形．
10．设 ， 都是定义在实数集上的函数，定义函数 ： ，
．若 ， ，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
(一)必做题（11～13题）
11．命题“若 、 都是偶数，则 是偶数”的逆命题是 ．
12．数列 满足 ， ， ，则 ．
13．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 中，曲线 的方程是 ， 的参数方程是 （ 为参数），则 与 交点的直角坐标是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图2，⊙ 的两条割线
与⊙ 交于 、 、 、 ，圆心 在 上，
若 ， ， ，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 的最小正周期为 ， ， 是常数．
⑴求 的值；
⑵若 ， ，求 ．
17．（本小题满分13分）
从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为 ， ， ， ， ．
⑴求图3中 的值；
⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果 ；
⑶从质量指标值分布在 、 的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．
18．（本小题满分14分）
如图5，直角梯形 ， ， ， ，点 为 的中点，将 沿 折起，使折起后的平面 与平面 垂直（如图6）．在图6所示的几何体 中：
⑴求证： 平面 ；
⑵点 在棱 上，且满足 平面 ，求几何体 的体积．
19．（本小题满分13分）
已知 是公差为 的等差数列， ， 与 的等差中项为 ．
⑴求 与 的值；
⑵设 ，求数列 的前 项和 ．
20．（本小题满分14分）
设A是圆 上的任意一点， 是过点A与 轴垂直的直线，D是直线 与 轴的交点，点M在直线 上，且满足 ．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线 ．
⑴求曲线 的标准方程；
⑵设曲线 的左右焦点分别为 、 ，经过 的直线 与曲线 交于P、Q两点，若 ，求直线 的方程．
21．（本小题满分14分）
已知函数 （ 是常数），曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为 ．
⑴求 的值；
⑵ ，讨论直线 与曲线 的公共点的个数．
评分参考
一、选择题 BADCB CDDCA
二、填空题 ⒒若 是偶数，则 、 都是偶数（对1句3分；表达有误适当扣分）
⒓ ⒔ ，甲（若两空一对一错，给3分）
⒕ （若坐标符号错误给2分，其他不给分） ⒖
三、解答题
⒗⑴ ……3分（振幅1分，辅助角2分）
由 的最小正周期 ……4分，得 ……5分
⑵由⑴知
……8分（前3个等号每个1分）， ……9分
∵ ，∴ ……10分
……12分（公式1分，代入求值1分）
⒘⑴依题意， ……2分
解得 ……3分
⑵ ， ， ， ， ……6分（ 、 、 各1分）
输出的 ……8分（列式、结果各1分）
⑶记质量指标在 的4件产品为 ， ， ， ，质量指标在 的1件产品为 ，则从5件产品中任取2件产品的结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种……10分
记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为： ， ， ， 共4种……11分
∴ ……12分
答：从质量指标……，……的概率为 ……13分
⒙⑴ ……1分， ， ，
……3分（其他方法求值也参照给分）
∵ ，∴ （ ）……4分
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ……6分
⑵∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ……8分
∵点 为 的中点，∴ 为 的中位线……9分
由⑴知，几何体 的体积 ……11分
……13分，
……14分
⒚⑴依题意， ……1分
（方法一）由 与 的等差中项为 得 ……2分
即 ……3分
……5分，解得 ， ……6分
（方法二）由 与 的等差中项为 得， 与 的等差中项为 ， 与 的等差中项为 ……3分
……5分，解得 ， ……6分
⑵由⑴得 ， ……7分
（方法一）记 ，则
……8分
两式相减得， ……10分
……11分
数列 的前 项和 ……12分
∴ ……13分
（方法二）
……9分，两式相减得
……11分
……13分
⒛⑴设 是曲线 上任意一点，则 ……1分，
对应圆上的点为 ，由 得 ……2分
……3分，依题意， ， ……4分
曲线 的标准方程为 ……5分
⑵由⑴得 ， ， ……6分
①若 为直线 ，代入 得 ，即 ， ……7分
直接计算知 ， ， ， 不符合题意……8分
②若直线 的斜率为 ，直线 的方程为
由 得 ……9分
设 ， ，则 ， ……10分
由 得， ……11分
即 ，
……12分
代入得 ，即 ……13分
解得 ，直线 的方程为 ……14分
21．⑴ ， ……1分， ，
切线方程为 ……2分
切线在 轴上的截距 ……3分，解得 ……4分
⑵由⑴得 ，解 得 ， ……5分
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
……7分
记 ，则直线 与曲线 的公共点的个数即为函数 零点的个数
① 时， ， ， ， 在 至少有一个零点……9分，
∵ 在 单调递增，∴ 在 上有且仅有一个零点……10分
时， （等号当且仅当 时成立）……11分，从而 ， 在 上没有零点……12分
② 时， ，由①讨论知， （即 ）有两个零点。
综上所述， 时，直线 与曲线 有1个公共点， 时，直线 与曲线 有两个公共点……14分
点击下载：广东省江门市2015届高三3月模拟数学文试题
