甘肃省部分普通高中2015届高三2月第一次联考
数学 试题（理科）
命题学校：嘉峪关市酒钢三中
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）
一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合 ，集合 , 则 （ ）
A． B． C． D．
2.下面是关于复数 的四个命题:
: , 的共轭复数为 的虚部为
其中真命题为( )
A． B． C． D．
3.已知平面向量 的夹角为 ， （ ）
A． B． C． D．
4.下列推断错误的是( )
A.命题“若 则 ”的逆否命题为“若 则 ”
B.命题 存在 ，使得 ，则非 任意 ，都有
C.若 且 为假命题，则 均为假命题
D.“ ”是“ ”的充分不必要条件
5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6.等比数列 中， ，则数列 的前8项和等于（ ）
A． B． C． D．
7.若实数 满足不等式组 则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8.抛物线 在第一象限内图象上一点 处的切线与 轴交点的横坐标记
为 ，其中 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9.定义行列式运算： .若将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10.设 是一个正整数， 的展开式中第四项的系数为 ，记函数 与 的图像所围成的阴影部分为 ，任取 ,则点 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）
A． B．
C． D．
11.已知 、 是双曲线 的上、下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
12.已知实数 满足 其中 是自然对数的底数,
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二.填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.）
13．定义某种运算 ， 的运算原理如右图：
则式子 _________.
14.正四棱锥 的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是 ，侧棱长为 ，则此球的表面积___________.
15.从某校数学竞赛小组的 名成员中选 人参加省级数学竞赛，则甲、乙 人至少有 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.
16.在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 的圆与圆 有公共点,则 的最小值是____.
三、解答题（本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）
17.(本题满12分)
在 中，角 的对边分别为 且
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
18.（本小题满分12分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得 分，比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止．设甲在每局中获胜的概率 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 ．
（1）求 的值；
（2）设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 .
19.（本题满分12分）
己知斜三棱柱 的底面是边长为 的正三角
形，侧面 为菱形， ，平面
平面 ， 是 的中点．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
20.（本题满分12分）已知椭圆 的对称中心为原点 ，焦点在 轴上，左右焦点分别为 和 ，且 ，点 在该椭圆上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 与椭圆 相交于 两点，若 的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切圆的方程．
21.（本小题满分12分）
已知函数
（1）当 时，求 的单调递减区间；
（2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）求证：
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示, 为圆 的切线, 为切点, ， 的角平分线与 和圆 分别交于点 和 .
（1）求证
（2）求 的值.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆 的参数方程 为参数）．以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若存在 ，使得， 成立，求实数 的取值范围．
2015年2月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考
数学试题答案（理科）
一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.C 12.B
二、填空题：13. 14 14. 15. 49 16.
三、解答题
17【解析】：（I）由正弦定理得 ，
因此 …………6分
（II）解：由 ,可得 ，
所以a＝c＝6 ----------12分
18. 解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜 局或乙连胜 局时，第二局比赛结束时比赛结束．
有 ． 解得 或 ．
， ． ………………………………5分
（Ⅱ）依题意知，依题意知， 的所有可能值为2，4，6．………………6分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有 ， ， ． 10分
随机变量 的分布列为：
2 4 6
P
则 ……………………12分
19 【解析】：（Ⅰ）证明：方法一
取 的中点 ,连结 ， ,由题意知 ．
又因为平面 平面 ， 所以 平面 ．………………2分
因为 平面 所以
因为 四边形 为菱形，所以
又因为 ∥ , 所以
所以 平面 ………………4分
又 平面 ， 所以 ．…6分
方法二
取 的中点 ,连结 ， , 由题意知 ， .
又因为 平面 平面 ，所以 平面
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . ……………………2分
则 , , ， , ，
. ……………………4分
因为 ，所以 ……………………6分
（Ⅱ）取 的中点 ,连结 ， , 由题意知 ， .
又因为 平面 平面 ，所以 平面
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . ……………………7分
则 , , ， , ,
.
设平面 的法向量为 ，则 即
令 .所以 . …………………………………………9分
又平面 的法向量 …………………………………10分
设二面角 的平面角为 ，则 .……………12分
20. （12分）【解析】（1）椭圆C的方程为 ……………．．（4分）
（2）①当直线 ⊥x轴时，可得A（-1，- ），B（-1， ）， A B的面积为3，不符合题意． …………（6分）
②当直线 与x轴不垂直时，设直线 的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，显然 ＞0成立，设A ，B ，则
， ，可得|AB|= ……………．．（10分）
又圆 的半径r= ，∴ A B的面积= |AB| r= = ，化简得：17 + -18=0，得k=±1，∴r = ，圆的方程为 ……………．．（12分）
21．（Ⅰ） 当 时
的单调递减区间为 ………………………………… 4分
（Ⅱ） 由 得
记
当 时 在 递减
又
………………………………………………………… 8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知
取 得 即
…… 12分
22.（1）∵ 为圆 的切线, 又 为公共角,
. ……………………4分
（2）∵ 为圆 的切线, 是过点 的割线,
又∵
又由（1）知 ,
连接 ,则
，则 ，
∴ . ------10分
23．解：圆 的普通方程为 ，又
所以圆 的极坐标方程为 （5分）
设 ，则有 解得
设 ，则有 解得
所以 (10分)
24
故 ，从而所求实数 的范围为 --------10分
点击下载：甘肃省部分普通高中2015届高三2月第一次联考数学(理)试题
