东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、复数 （ ）
A． B． C． D．
3、点 到抛物线 准线的距离为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4、设 是公差不为零的等差数列 的前 项和，且 ，若 ，则当 最大时， （ ）
A． B． C． D．
5、执行如图所示的程序框图，要使输出的 值小于 ，则输入的 值不能是下面的（ ）
A． B．
C． D．
6、下列命题中正确命题的个数是（ ）
①对于命题 ，使得 ，则 ，均有
② 是 的必要不充分条件，则 是 的充分不必要条件
③命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
④“ ”是“直线 与直线 垂直”的充要条件
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7、如图，网格纸上小正方形的边长为 ，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8、设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，焦点 到一条渐近线的距离为 ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9、不等式组 表示的点集记为 ，不等式组 表示的点集记为 ，在 中任取一点 ，则 的概率为（ ）
A． B． C． D．
10、设二项式 （ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11、已知数列 满足 ，若数列的最小项为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12、已知函数 ，若函数 有且只有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、向量 ， 满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为 ．
14、三棱柱 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直， ， ， ，则这个球的表面积为 ．
15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．
16、已知函数 （ ）的图象关于直线 对称，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ．
求 的取值范围；
求函数 的取值范围．
18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．
频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；
在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
19、（本小题满分12分）如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形， 底面 ， 、 分别为 、 的中点．
求证： 平面 ；
若 ，试问在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分12分）已知椭圆 （ ）的左、右焦点为 、 ，点 在椭圆上，且 与 轴垂直．
求椭圆的方程；
过 作直线与椭圆交于另外一点 ，求 面积的最大值．
21、（本小题满分12分）已知 是实常数，函数 ．
若曲线 在 处的切线过点 ，求实数 的值；
若 有两个极值点 ， （ ），
求证： ；
求证： ．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在 中， ，以 为直径的圆 交 于点 ，点 是 边的中点，连接 交圆 于点 ．
求证： 是圆 的切线；
求证： ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数）．
求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程；
设点 ，若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 ．
解不等式 ；
若 ，使得 ，求实数 的取值范围．
东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题
参考答案
一．选择题：
1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C
二．填空题：
13. 900 14. 64 15. 84 16.
三．解答题：
17.解：
（Ⅰ）设 中角 的对边分别为 ，
则由已知： ， ， 分
可得 ，所以： ． 分
（Ⅱ）
． 分
， ， ．
即当 时， ；当 时， ．
所以：函数 的取值范围是 分
18.解：（1）由表知：①，②分别填 .补全频率分布直方图如下: 分
分
平均年龄估值为: （岁） 分
(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人, 的可能取值为0,1,2
分
的分布列为
0 1 2
分
期望 （人） 分
19.证明: (Ⅰ)取 中点 , 连接 , 在△ 中, 为
的中点, ,正方形 中 为 中点, ,
故： 为平行四边形 分
又 平面 , 平面 平面 分
(Ⅱ) 如图：以点 为坐标原点建立空间直角坐标系:
由题易知平面 的法向量为 ， 分
假设存在 满足条件：设 ,
设平面 的法向量为 ,
分
由已知：
解得： 所以：满足条件的 存在，是 中点。 分
20.（1）有已知： ，
故椭圆方程为 分
(2)当 斜率不存在时： 分
当 斜率存在时:设其方程为：
由 得
由已知：
即：
分
到直线 的距离：
分
此时
综上所求：当 斜率不存在或斜率为零时： 面积取最大值为 分
21.解(1)由已知: ,切点 分
切线方程: ,把 代入得: 分
(2)(Ⅰ)依题意: 有两个不等实根
设 则:
①当 时: ,所以 是增函数,不符合题意; 分
②当 时:由 得:
列表如下:
0
↗ 极大值 ↘
依题意: ,解得:
综上所求: 得证; 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: 变化如下:
0 + 0
↘ ↗ ↘
由表可知: 在 上为增函数,所以: 分
又 , 故
由(Ⅰ)知: ,
设 ,则 成立,所以 单调递减,
故: ,也就是
综上所证: 成立. 分
22.选修4-1: 几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连结 .
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ . 分
在 和 中，∵ ， ， ，
∴ ≌ ，∴ ，即 .
∵ 是圆 上一点，∴ 是圆 的切线. 分
（Ⅱ）延长 交圆 于点 .
∵ ≌ ，∴ .∵点 是 的中点，∴ .
∵ 是圆 的切线，∴ .∴ . 分
∵ ，
∴ .
∵ 是圆 的切线， 是圆 的割线，
∴ ，∴ 分
23.选修4-4: 坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由 ，得： ，∴ ，即 ，
∴曲线 的直角坐标方程为 . 分
由 ，得 ，即 ，
∴直线的普通方程为 . 分
（Ⅱ）将 代入 ，得： ，
整理得： ，
由 ，即 ，解得： .
设 是上述方程的两实根，则 ， 分
又直线过点 ，由上式及的几何意义得
，解得： 或 ，都符合 ，
因此实数 的值为或 或 . 分
24.选修4-5: 不等式选讲
解：（Ⅰ）当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ ；
当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ ；
当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ . 分
综上，不等式 的解集为 . 分
（Ⅱ） ，∴ . 分
∵ ，使得 ，∴ ，
整理得： ，解得： ，
因此 的取值范围是 . 分
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