2015年温州市高三第一次适应性测试
数学（文科）试题（2015.2）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：
柱体的体积公式：V=Sh 其中S表示柱体的底面积， h表示柱体的高
锥体的体积公式：V= Sh 其中S表示锥体的底面积， h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1， S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高
球的表面积公式S=4πR2 球的体积公式V= πR3 其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P={x|y= +1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q= （ ）
A. B.[0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞)
2. 设a，b∈R，则“lga>lgb”是“ ”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3. 已知sinx+ cosx= ，则cos( －x)= （ ）
A.－ B. C.－ D.
4. 下列命题正确的是 （ ）
A.垂直于同一直线的两条直线互相平行
B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形
C.平面截正方体所得的截面图形可能是正立边形
D.锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形
5. 已知双曲线 的渐近线与圆C: (x－ )2+y2=1相切，则双曲线的离心率是 （ ）
A.2 B.3 C. D.
6. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在 上是单调函数，则ω应满足的条件是 （ ）
A.0<ω≤1 B. ω≥1 C. 0<ω≤1或ω=3 D. 0<ω≤3
7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2，则f(2015)= （ ）
A.－1 B.1 C.0 D.20152
8. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为 ，若空间有一条直线l与
直线CC1所成的角为 ，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
非选择题部分（共110分）
二、 填空题 ：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。
9. 设函数f(x)= ，则f(－2)= ；
若f(a)=1，则实数a= .
10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n－a，则实数a= ，
公比q= .
11. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的
曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于 cm3，
表面积等于 cm2.
（第11题图）
12. 已知F1，F2是椭圆C: 的左右焦点，过右焦点F2的直线l: y=kx+m与椭圆C
相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线 OM（O为原点）的斜率为 ，则△ABF1
的周长等于 ，斜率k＝ .
13. 已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的最小值是
14. 若直线l: ax－by=1与不等式组 表示的平面区域无公共点，则3a－2b的
最小值与最大值的和等于 .
15. 已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足 ，则
的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b=2，c=4，
sinA=2sinB.
(Ⅰ) 求△ABC的面积；
(Ⅱ) 求sin(A－B)．
17．（本题满分15分）已知数列{an}的前n项和Sn，且满足：
，n∈N*.
(Ⅰ) 求an；
(Ⅱ) 求证：
18．（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，
已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，
(Ⅰ) 求证：AC⊥BD；
(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD= ，
求二面角C－AD－B的余弦值。
（第18题图）
19. （本题满分15分）已知抛物线C: y2=4x的焦点为F，点P(4，0).
(Ⅰ)设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；
(Ⅱ)过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6 ，求直线l的方程。
20．（本题满分14分）已知函数f(x)=
（I）判断函数f(x)在(－2，－1)上的单调性并加以证明；
（II）若函数g(x)=f(x)－2|x|－m有四个不同的零点，求实数m的取值范围.
2015年温州市高三第一次适应性测试
数学（文科）试题参考答案 2015.2
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C D C A C
二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.
9． 10． 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分15分）
（I）解：由 及正弦定理 得
…… …… ……2分
又 所以 …… … ……3分
又 所以 是等腰三角形
取底边 的中点 ，连 ，则高 = ………5分
所以 的面积 ………7分
（II）在 中，
…… …… ……10分
………… ……12分
…… …… ……13分
…… …… ……15分
17．（本题满分15分）
（I）解：当 时， ……………1分
……………①
当 时，
……………② ……………3分
由① ②得 ，即 ……………5分
……………………………………6分
（忘了求 扣1分，猜想 而没证明扣3分）
（II）（方法一）证明： ，所以数列 是等差数列。……7分
……………8分
……………10分
……………12分
……………13分
……………15分
（方法二）证明： ，所以数列 是等差数列。 ………7分
……………8分
……………10分
当 时， 成立 ……………11分
当 时，
……………12分
……………14分
……………15分
（方法三）证明： ，所以数列 是等差数列。 ………7分
……………8分
……………10分
……………12分
…………13分
……………14分
……………15分
18．（本题满分15分）
（I）证明（方法一）：∵ ， ， ．
∴ ． ∴ ．………………2分
取 的中点 ，连结 ，则 ， ．
………………………………………………………………3分
又∵ ， ……………………………………4分
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， ……………………………………5分
∴ ………………………………………………6分
（方法二）：过 作 ⊥ 于点 ．连接 ．…1分
∵ ， ， ．
∴ ．∴ ⊥ ．…………………3分
又∵ ，……………………………………4分
平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．……………………………………5分
又∵ 平面 ，
∴ ．……………………………………………6分
（方法三）： ………………2分
………………………………3分
………4分
，……………………5分
∴ ．……………………………………………6分
（II）解：
过 作 ⊥ 于点 ．则 平面 ，
又∵平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，
∴ ⊥平面 ． ……………………………………8分
过 做 ⊥ 于点 ，连接 ． ………………9分
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，又 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ．…………………10分
∴ 为二面角 的平面角． …………11分
连接 ．∵ ，∴ ⊥ ．
∵ ， ，
∴ ， ．∵ ，∴ ． ………12分
∴ ∴ ．…………………………13分
∴ ，…………………………………………14分
∴ ．
∴二面角 的余弦值为 ．…………15分
19. （本题满分15分）
（I）解：设 ，则
……3分
……………5分
……………7分
（II）解：设直线 ， ，
焦点
由 消去 得 ………………………9分
由韦达定理可得 …………… ……………11分
所以 的面积
………………13分
……… ……………14分
所以直线 的方程为： …………………………15分
（方法二）解：若直线 的斜率不存在，则 ，
所以 的面积
，不符合 …………………9分
所以直线 的斜率必存在
设直线 ， ，焦点
由 消去 得 ………10分
由韦达定理可得 …… ……………11分
弦长
…… ……………12分
到 的距离 ． …… ……………13分
所以 的面积
………… ……………14分
所以直线 的方程为： …………………………15分
20．（本题满分14分）
（I）解：函数 ，…………………………1分
函数 在在 上递减，………………………………2分
证明如下：
设 ，且 ，则
……………4分
，
即
所以函数 在 上递减. ……………………6分
（II）解法一：
函数 有四个零点
函数 图像与函数 图像有四个交点 ……7分
结合图像
(1) 当 时，
函数 图像与函数 图像恰有一个交点，……9分
(2)当 时，为满足 有4个不同的零点，则函数
图像与函数 图像恰有三个交点符合要求。
而 过点 ，
结合图像知则 …………………………10分
当直线 与
相切时，在 内只有两个交点。
消去 得 整理得
解得 （舍去）， …………………13分
当 时，函数 有4个零点……………….…14分
解法二：
函数 有四个零点
方程 有四个实根
函数 图像与函数 图像有四个交点
函数 图像与函数 图像有四个交点……8分
(1)当 时，
若函数 图像与函数 图像有一
个交点，则 ……………………………10分
(2) 当 时，若函数 图像
与函数 图
像恰好有3个交点符合要求，
则 ……………11分
当直线 与 相切时，
在 内只有两个交点。
消去 得 整理得
解得 （舍去）， …………………13分
当 时，函数 有4个零点……………….…14分
解法三：
函数 有4个不同零点，即方程 有4个不同的实根．
方程化为：①
与② 与③ ……7分
记 ， ,
开口均向上．
对①：由 知 在 最多一个零点．
当 ，即 时， 在 上有一个零点
当 ，即 时， 在 没有零点。 ………………9分
对②：由 知 在 有唯一零点．…………………10分
对③：为满足 有4个零点， 在 应有两个不同零点．
∴ ．…………………13分
综上所述：当 时，函数 有4个零点……………….…14分
解法四：
函数 都有4个不同零点，即方程 有4个不同的实根．
令 ．则 ．………………7分
在 单调递增，且其值域为 ，所以 在 有一个实根……8分
在 单调递减，且其值域为 ，所以当 时， 在 上有一个实根，当 时， 在 上没有实根……………………10分
为满足 都有4个不同零点， 在 至少有两个实根．
当 时，
在 单调递减，且此时值域为
在 单调递增，且此时值域均为 ……….…12分．
∴ 时，方程 在 有两个实根 ……………13分
综上所述：当 时，函数 有4个零点 ……………….…14分
命题教师：吴云浪 钱从新 戴海林
林 荣 邵 达 叶事一
点击下载：浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试数学文试题
