东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试
文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
１．已知集合 若 则 等于（ ）
A．1 B．2 C． 3 D． 1或2
２．复数 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３． 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ ”是“ ”的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
４．向量 满足 则向量 与 的夹角为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５．实数 是 上的随机数，则关于 的方程 有实根的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
７．椭圆 两个焦点分别是 ，点 是椭圆上
任意一点，则 的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB过点Ｏ， , , , 则三棱锥 的体积为（ ）
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
９． 已知数列 满足
，则
=（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．执行如图所示的程序框图，要使输出的 的值小于１，
则输入的 值不能是下面的（ ）
Ａ．8 Ｂ．9
Ｃ．10 Ｄ．11
11．若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．函数 的零点个数为（ ）
Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．若等差数列 中，满足 ，则 =_________．
14．若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
15．已知双曲线C： ，点P与双曲线C的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为 ，则 =____．
16．若函数 满足: （ⅰ）函数 的定义域是 ； （ⅱ）对任意 有 ；（ⅲ） . 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）
①函数 是奇函数；②函数 是偶函数；③对任意 ，若 ，则 ；④ 对任意 ，有 .
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
已知 的面积为 且满足 设 和 的夹角为 ．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）求函数 的值域．
18．（本题满分12分）
空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位： ）为 时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为 时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为 时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为 时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为 时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为 以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年１月某日某省 个监测点数据统计如下：
空气污染指数
(单位： )
监测点个数 15 40
10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
19．（本题满分12分）
如图，多面体 中，底面 是菱形，
，四边形 是正方形，且
平面 .
(Ⅰ)求证: 平面 ；
(Ⅱ)若 ，求多面体 的体积 .
20．（本题满分12分）
在平面直角坐标系 中，已知动圆过点 ，且被 轴所截得的弦长为4.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 的方程;
(Ⅱ) 过点 分别作斜率为 的两条直线 ，交 于 两点(点 异于点 ),若 ，且直线 与圆 相切，求△ 的面积.
21．（本题满分12分）
已知实数 为常数，函数 ．
（Ⅰ）若曲线 在 处的切线过点Ａ ，求实数 值；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 ．
①求证： ；②求证： ， ．
请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号．
22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，在 中， ，以 为直径的圆 交 于点 ，点 是 边的中点，连接 交圆 于点 .
（Ⅰ）求证： 是圆 的切线；
（Ⅱ）求证： .
23．（本题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数）.
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（Ⅱ）设点 ，若直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值.
24．（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲
设函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若 ，使得 ，求实数 的取值范围.
东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试文科数学试题
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C C B B C A C A D D
二．填空题
13． 4030 14．－6 15．－16 16． ②③④
三.解答题
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设 中角 的对边分别为 ，
则由已知： ， ， ……4分
可得 ，所以： ． ……6分
（Ⅱ）
． ……8分
， ， ．
即当 时， ；当 时， ．
所以：函数 的值域是 ……12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
……2分
……5分
（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3, 空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为
(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分
所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是 . ……12分
19．（本小题满分12分）
(Ⅰ)证明： 是菱形， .
又 平面 ， 平面 ， 平面 .
……2分
又 是正方形， .
平面 ， 平面 ，
平面 . ……4分
平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 .
由于 平面 ，知 平面 . ……6分
(Ⅱ)解：连接 ，记 .
是菱形， ，且 ．
由 平面 ， 平面 ， .
平面 ， 平面 ， ，
平面 于 ，
即 为四棱锥 的高. ……9分
由 是菱形， ，则 为等边三角形，由 ，则 ，
， ， ， . ……12分
20．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ) 设动圆圆心坐标为 ，半径为 ，由题可知 ；
动圆圆心的轨迹方程为 ……4分
(Ⅱ) 设直线 斜率为 ,则
点P（1,2）在抛物线 上
设 , 恒成立，即 有
代入直线方程可得 ……6分
同理可得 ……7分
……9分
不妨设 .
因为直线 与圆 相切，所以 解得 或1,
当 时, 直线 过点 ,舍
当 时, 由 ；
到直线 的距离为 ，△ 的面积为 . ……12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知: ,切点 ……1分
切线方程: ,把 代入得: ……3分
（Ⅱ）①证明：
依题意: 有两个不等实根
设 则:
(ⅰ)当 时: ,所以 是增函数,不符合题意; ……5分
(ⅱ)当 时:由 得:
列表如下:
0
↗ 极大值 ↘
= ,解得: ……8分
（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）
方法一：当 且 时 ， ， 当 且 时
在 上必有一个零点．
当 时，设 ，
＋ ０ －
↗ 极大值 ↘
时， 即
时，
设 ， 由 ， 时，
在 上有一个零点
综上，函数 有两个极值点时 ，得证．
方法二
有两个极值点,即 有两个零点,
即 有两不同实根.
设 , ,
当 时， ；当 时，
＋ ０ －
↗ 极大值 ↘
当 时 有极大值也是最大值为 ，
，故 在 有一个零点
当 时， 且
时
综上函数 有两个极值点时 ，得证．
② 证明： 由①知: 变化如下:
0 + 0
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可知: 在 上为增函数,
又 ,故 ……10分
所以：
即 ， ． ……12分
22.选修4-1: 几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连结 .
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
……2分
在 和 中，∵ ， ， ，
∴ ≌ ， ……4分
∴ ，即 .
∵ 是圆 上一点，∴ 是圆 的切线. ……5分
（Ⅱ）延长 交圆 于点 .
∵ ≌ ，∴ .∵点 是 的中点，∴ .
∵ 是圆 的切线，∴ .∴ . ……7分
∵ ，
∴ .
∵ 是圆 的切线， 是圆 的割线，
∴ ，∴ ……10分
23.选修4-4: 坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由 ，得： ，∴ ，即 ，
∴曲线 的直角坐标方程为 . ……2分
由 ，得 ，即 ，
∴直线 的普通方程为 . ……5分
（Ⅱ）将 代入 ，得： ，
整理得： ，
由 ，即 ，解得： .
设 是上述方程的两实根，则 ， ……7分
又直线 过点 ，由上式及 的几何意义得
，解得： 或 ，都符合 ，
因此实数 的值为 或 或 . 分
24.选修4-5: 不等式选讲
解：（Ⅰ）当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ ；
当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ ；
当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ . ……3分
综上，不等式 的解集为 . ……5分
（Ⅱ） ，∴ . ……7分
∵ ，使得 ，∴ ，
整理得： ，解得： ，
因此 的取值范围是 . ……10分
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