长春市普通高中2015届高三质量监测（二）
数 学（理 科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4、已知 函数 在 上是单调函数， 函数 （ 且 ）在 上是增函数，则 成立是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
7、已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为 、 、 、 ，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
9、已知函数 ，若将其图象向右平移 （ ）个单位后所得的图象关于原点对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10、设 ， ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11、若 是双曲线 （ ）的右焦点，过 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 ， 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则该双曲线的离心率 （ ）
A． B． C． D．
12、设数列 的前 项和为 ，且 ， 为等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、 的展开式中常数项为 ．
14、已知 且曲线 、 与 所围成的封闭区域的面积为 ，则 ．
15、正四面体 的外接球半径为 ，过棱 作该球的截面，则截面面积的最小值为 ．
16、已知函数 为偶函数且 ，又 ，函数 ，若 恰好有4个零点，则 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）在 中， ， ．
求角 的值；
设 ，求 ．
18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．
已知 、 、 三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求 ， 的值；
该电子商务平台将年龄在 之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和 的分布列与数学期望．
19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，四边形 满足 ， 且 ，点 为 中点，点 为 边上的动点，且 ．
求证：平面 平面 ；
是否存在实数 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由．
20、（本小题满分12分）在 中，顶点 ， ， 、 分别是 的重心和内心，且 ．
求顶点 的轨迹 的方程；
过点 的直线交曲线 于 、 两点， 是直线 上一点，设直线 、 、 的斜率分别为 ， ， ，试比较 与 的大小，并加以证明．
21、（本小题满分12分）设函数 ，其中 和 是实数，曲线 恒与 轴相切于坐标原点．
求常数 的值；
当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
求证： ．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，过点 作圆 的割线 与切线 ， 为切点，连接 ， ， 的平分线与 ， 分别交于点 ， ，其中 ．
求证： ；
求 的大小．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
试判断曲线 与 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 ， ．
当 时，求不等式 的解集；
对任意 恒有 ，求实数 的取值范围．
长春市普通高中2015届高三质量监测（二）
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A
简答与提示：
1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.
【试题解析】D 由题意可知 或 ，则 ，所以 . 故选D.
2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】A ，所以其共轭复数为 . 故选A.
3. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.
【试题解析】C . 故选C.
4. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题.
【试题解析】C 由 成立，则 ，由 成立，则 ，所以 成立时 是 的充要条件.故选C.
5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.
【试题解析】D 由题意可知， 在 处取得最小值，在 处取得最大值，即 .故选D.
6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为 . 故选D.
7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.
【试题解析】B . 故选B.
8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.
【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.
9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.
【试题解析】C 由题意 ，将其图像向右平移 个单位后解析式为 ，则 ，即 ，所以 的最小值为 . 故选C.
10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.
【试题解析】A 由直线与圆相切可知 ，整理得 ，由 可知 ，解得 . 故选A.
11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.
【试题解析】C 由题可知，过I、III象限的渐近线的倾斜角为 ，则 ， ，因此△ 的面积可以表示为 ，解得 ，则 . 故选C.
12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题.
【试题解析】A 设 ，有 ， ，则 ，
即
当 时，
所以 ，即 ，
所以 是以 为公比，1为首项的等比数列，
所以 ， . 故选A.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
简答与提示：
13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.
【试题解析】由题意可知常数项为 .
14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.
【试题解析】由题意 ，所以 .
15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.
【试题解析】由题意，面积最小的截面是以 为直径，可求得 ，进而截面面积的最小值为 .
16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.
【试题解析】由题意可知 是周期为4的偶函数，对称轴为直线 . 若 恰有4个零点，有 ，解得 .
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) (3分)
(6分)
(2)因为 ，而 ，且 为锐角，可求得 . (9分)
所以在△ 中，由正弦定理得， . (12分)
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.
【试题解析】(1)由图可知 ， . (4分)
(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分)
从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和 ，
则 的所有可能取值为：150，200，250，300.
， ，
， ，
150 200 250 300
(10分)
且 . (12分)
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) 取 中点 ，连结 、 ，
是 中点， ，
又 ， ， 四边形 为平行四边形
， 平面 ， ，
， ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 . (6分)
(2) 存在符合条件的 .以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系 ，设 ， ， ，
从而 ， ，则平面 的法向量为 ，
又平面 即为 平面，其法向量 ，
则 ，
解得 或 ，进而 或 . (12分)
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
【试题解析】解：(1) 已知 ，且 , ，其中 为内切圆半径，化简得： ，顶点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中
进而其方程为 . (5分)
(2) ，以下进行证明：
当直线 斜率存在时，设直线 且 ， ，
联立 可得 ， . (8分)
由题意： ， ， .
当直线 斜率不存在时， ，
综上可得 . (12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.
【试题解析】解：(1) 对 求导得： ，根据条件知 ，所以 . (3分)
(2) 由(1)得 ，
.
① 当 时，由于 ，有 ，于是 在 上单调递增，从而 ，因此 在 上单调递增，即 而且仅有 ；
②当 时，由于 ，有 ，于是 在 上单调递减，从而 ，因此 在 上单调递减，即 而且仅有 ；
③当 时，令 ，当 时， ，于是 在 上单调递减，从而 ，因此 在 上单调递减，
即 而且仅有 .
综上可知，所求实数 的取值范围是 . （8分）
(3) 对要证明的不等式等价变形如下：
所以可以考虑证明：对于任意的正整数 ，不等式 恒成立. 并且继续作如下等价变形
对于 相当于（2）中 ， 情形，有 在 上单调递减，即 而且仅有 .
取 ，当 时， 成立；
当 时， .
从而对于任意正整数 都有 成立.
对于 相当于（2）中 情形，对于任意 ，恒有 而且仅有 . 取 ，得：对于任意正整数 都有 成立.
因此对于任意正整数 ，不等式 恒成立.
这样依据不等式 ，再令 利用左边，令 利用右边，即可得到 成立. (12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】解：(1) 由题意可知， ， ，
则△ ∽△ ，则 ，又 ，则 . (5分)
(2) 由 ， ，可得 ，
在△ 中， ，可知 . (10分)
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】解：(1) 对于曲线 有 ，对于曲线 有 .(5分)
(2) 显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写为 （为参数）与曲线 ： 联立，可知 ，所以 与 存在两个交点，
由 ， ，得 . (10分)
24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等
内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】解：(1)当 时，
所以 的解集为 （5分）
(2)
由 恒成立，有 ，解得
所以 的取值范围是 （10分）
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