2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）
数 学（理 科 类）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“ ”是“ ”的充分不必要条件
②命题“ ， ”的否定是“ ， ”
③“若 ，则 ”的逆命题为真命题
④命题 ， ，命题 ， ，则 为真命题
A． B． C． D．
4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A． B．
C． D．
5、将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 ，则 具有性质（ ）
A．最大值为 ，图象关于直线 对称 B．在 上单调递增，为奇函数
C．在 上单调递增，为偶函数 D．周期为 ，图象关于点 对称
6、等比数列 中， ， ，则数列 的前 项和等于（ ）
A． B． C． D．
7、某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为 的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
8、已知抛物线 （ ）与椭圆 （ ）有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个公共点，且 轴，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9、已知 ， 平面 ，若 ，则四面体 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 取得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
11、若 是 的重心， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ，则角 （ ）
A． B． C． D．
12、已知数列 中， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
14、设 ，则 的展开式中常数项为 ．
15、在直角梯形 中， ， ， ， ，梯形所在平面内一点 满足 ，则 ．
16、已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
求角 ；
若 ，求 的面积．
18、（本小题满分12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达 亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为 ．
确定 ， ， ， 的值，并补全频率分布直方图；
为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．
①请将列联表补充完整；
网龄3年以上 网龄不足3年 合计
购物金额在2000元以上 35
购物金额在2000元以下 20
合计 100
②并据此列联表判断，是否有 %的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？
参考数据：
（参考公式： ，其中 ）
19、（本小题满分12分）已知四棱锥 ，侧面 底面 ，侧面 为等边三角形，底面 为菱形，且 ．
求证： ；
求平面 与平面 所成的角（锐角）的余弦值．
20、（本小题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点 在 轴正半轴上，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，线段 的长是 ， 的中点到 轴的距离是 ．
求抛物线的标准方程；
在抛物线上是否存在不与原点重合的点 ，使得过点 的直线交抛物线于另一点 ，满足 ，且直线 与抛物线在点 处的切线垂直？并请说明理由．
21、（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
讨论 的单调性；
若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围（ 为自然常数）；
求证 （ ， ）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， ， ， 为 上的三个点， 是 的平分线，交 于点 ，过 作 的切线交 的延长线于点 ．
证明： 平分 ；
证明： ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，圆锥曲线 的参数方程为 （ 为参数），定点 ， 、 是圆锥曲线 的左、右焦点．
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点 且平行于直线 的直线 的极坐标方程；
设 中直线 与圆锥曲线 交于 ， 两点，求 ．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 ， ．
当 时，解不等式 ；
画出函数 的图象，根据图象求使 恒成立的实数 的取值范围．
2015年数学科模拟试题答案（理科）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A D B B D C B C A D C
13. 2 14. 15. -1 16.
17.(1)解：
……………………2分
……………………4分
（2）
……………………6分
……………………8分
……………………10分
……………………12分
18.答案：⑴因为网购金额在2000元以上的频率为 ，
所以网购金额在2000元以上的人数为100 =40
所以 ，
所以 ，……………………1分
，……………………2分
所以 ……………………4分
所以频率分布直方图如右图……………………5分
⑵由题设列联表如下
网龄3年以上 网龄不足3年 合计
购物金额在2000元以上 35 5 40
购物金额在2000元以下 40 20 60
合计 75 25 100
……………………7分
所以 = ……………………9分
因为 ……………………10分
所以据此列联表判断，有 %的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关.
……………………12分
19.证明：（1）取 中点 ，连结 .
侧面 为等边三角形，底面 为菱形且
……………………2分
……………………4分
……………………5分
（2）侧面 底面 ，侧面 底面 = ，
，
……………………7分
以 为坐标原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴建立空间直角坐标系，设 点坐标为
则
……………………8分
设面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得 ……………………9分
设面 的法向量为 ，同理解得 ……………………10分
面 与面 所成的角（锐角）的余弦值为 ……………………12分
20.解：（1）设抛物线的方程是 ， ,
由抛物线定义可知 ……………………2分
又 中点到 轴的距离为3，∴ ，∴p＝2，
所以抛物线的标准方程是 .……………………4分
(2)设 ，则 在 处的切线方程是 ，直线 代入 得 ，……………………6分
故 ，所以 ……………………8分
而 ……………………10分
，得 ，所以 ，
存在点 .……………………12分
（说明：没求出 ，但说明关于 的方程 有解，也给分。
例如令 ， ，
所以 有解）
21解：（1） ,
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；……………………3分
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；……………………4分
（2）令
若 , , 是增函数,
无解. ……………………5分
若 , ， , 是减函数; , 是增函数 ,
.
……………………6分
若 ， ， 是减函数,
， ……………7分
综上所述 ……………………8分
（3）令 （或 ）此时 ，所以 ，
由（Ⅰ）知 在 上单调递增，∴当 时 ，即 ，∴ 对一切 成立，……………………9分
∵ ，则有 ，
……………………10分
要证
只需证
……………………11分
所以原不等式成立……………………12分
22.⑴因为 是⊙ 的切线，所以 ……………………2分
又因为 ……………………4分
所以 ,即 平分 .……………………5分
⑵由⑴可知 ，且
∽ ,所以 ,……………………7分
又因为 ,所以
……………………8分
所以 ，……………………9分
所以 ……………………10分
23.解：（1）圆锥曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以普通方程为 ： ……………………2分
……………………3分
直线极坐标方程为：
……………………5分
（2）直线的参数方程是 （为参数），……………………7分
代入椭圆方程得 ……………………8分
……………………9分
……………………10分
24.解： ，……………………2分
（1） ， 或 或
，……………………4分
不等式的解集为 ……………………5分
（2）图象……………………8分
所以 ……………………10分
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