江苏省南通市2015届高三第一次调研测试
数学I
一、填空题
1. 已知集合 ，则 .
2. 已知复数 满足 为虚数单位 ，则 的模为 .
3. 某中学共有学生 人，其中高一年级 人，高二年级 人，高三年级 人，现采用分层抽样
的方法，抽取 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .
4. 函数 的定义域为 .
5. 有图是一个算法流程图，则输出的 的值是 .
6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 个点的正方体玩具 ，观察向上的点数，则两个点数之积不小于 的概率为 .
7. 底面边长为 ，高为 的正四棱锥的侧面积为 .
8. 在平面直角坐标系 中，以直线 为渐近线，且经过抛物
线 焦点的双曲线的方程是
9. 在平面直角坐标系 中，记曲线 处的切线为直线 .若直线 在
两坐标轴上的截距之和为 ，则 的值为 .
10. 已知函数 .若 是偶函数，则 .
11. 在等差数列 中，已知首项 ，公差 .若 ，则 的最大值为 .
12. 已知函数 的图像经过点 ，如下图所示，则 的最小值为 .
13. 如上图，圆 内接∆ 中， 是 的中点， .若 ，则 .
14. 已知函数 是定义在 上的函数，且 则函数
在区间 上的零点个数为 .
二、解答题
15. 在∆ 中，角 的对边分别为 已知
求角 的大小；
若 ，求∆ 的面积.
16. 如图，在直三棱柱 中， 是棱 上的一点.
求证： ；
若 是 的中点，且 ∥平面 .
17．如图，在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆 的左、右焦点，顶点 的坐标为 ，且∆ 是边长为 的等边三角形.
求椭圆的方程；
过右焦点 的直线 与椭圆交于 两点，记∆ ，∆ 的面积分别为 .若 ，求直线 的斜率.
18. 在长为 m，宽为 m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台 圆心为点 ，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角 点处安装监控摄像头，使点 与圆 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内 如图阴影所示 .
若圆盘半径为 m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；
过监控摄像头最大水平视角为 ，求圆盘半径的最大值.
注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.
19.若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点.
已知函数
当 时，求 的极值；
若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围.
20. 设数列 的前 项和为 .若 ，则称 是“紧密数列”.
若数列 的前 项和为 ，证明： 是“紧密数列”；
设数列 是公比为 的等比数列.若数列 与 都是“紧密数列”，求. 的取值范围.
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-１：几何证明选讲
（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为圆O上一点，AN＝AC，证明：∠MDN＝2∠OCA
B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）已知矩阵 的逆矩阵 ，求实数m,n
C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）在平面直角坐标xoy中，已知曲线C的参数方程为 ，曲线与直线 相交于A，B两点，求线段AB的长。
D．选修4－5：不等式选讲
（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数，求证：
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90º。
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B-AE-C的余弦值。
23、设 是满足下述条件的自然的个数：各数位上的数字之和为n（ ），且每数位上的数字只能是1或2。
（1）求 的值；
（2）求证： 是5的倍数。
数学I参考答案
1、 2、 3、93 4、 5、59
6、 7、 8、 9、-3或－4 10、
11、200 12、 13、 14、11
15、
16、
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