湖北省部分学校2015届高三毕业生（二）月调研考试
数 学（理 科）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
2、定义 ，设集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
3、某班 名学生负责校内 个不同地段的卫生工作，每个地段至少有 名学生的分配方案共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
4、设抛物线 与双曲线 的焦点重合，且双曲线 的渐近线为 ，则双曲线 的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
5、把函数 的图象向右平移 ，得到函数 的图象，则函数 为（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）
A． B． C． D．
7、设 ，则“ ”是“ 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8、某科研所共有职工 人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（ ）
A．年龄数据的中位数是 ，众数是 B．年龄数据的中位数和众数一定相等
C．年龄数据的平均数 D．年龄数据的平均数一定大于中位数
9、如图所示，若输入的 为 ，那么输出的结果是（ ）
A． B．
C． D．
10、设椭圆 和双曲线 有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．）
（一）必做题（11—14题）
11、已知矩形 中， ， ，点 是 上任意一点，则 的取值范围是 ．
12、在三角形 中， ， ， 是三角形 的内角，设函数
，则 的最大值为 ．
13、设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
14、已知矩形 的周长为 ，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按15题作答结果计分）
15、（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知直线 切圆 于点 ，直线 交圆 于点 、 ，若 ， ，则圆 的半径长为 ．
16、（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知抛物线 （ ），直线 的参数方程： （ 为参数）．写出抛物线 的极坐标方程和直线 的普通方程 、 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）设函数 的一个零点是 ．
求函数 的周期；
求函数 单调增区间．
18、（本小题满分12分）已知公比为负值的等比数列 中， ， ．
求数列 的通项公式；
设 ，求数列 的前 项和 ．
19、（本小题满分12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取 颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下：
甲种作物的产量数据：
乙种作物的产量数据：
作出两组数据的茎叶图；
设 颗杂粮作物果实的籽重为 ，若 ，则称该果实为标准果实，现从上述 颗果实中任选 颗，记标准果实的颗数为 ，求随机变量 的期望．
20、（本小题满分12分）如图所示，在矩形 中， ， ，点 是线段 的中点，把三角形 沿 折起，设折起后点 的位置为 ， 是 的中点．
求证：无论 在什么位置，都有 平面 ；
当点 在平面 上的射影落在线段 上时，求二面角 的余弦值．
21、（本小题满分13分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 是 上任意一点， 是坐标原点， ，设点 的轨迹为 ．
求点 的轨迹 的方程；
若点 满足： ，其中 ， 是 上的点，且直线 ， 的斜率之积等于 ，是否存在两定点 ， ，使 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题满分14分）已知函数 ， 是常数．
若函数 的图象在点 （ ）与直线 相切，求 和 的值；
若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
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