江门市2015年高考模拟考试
数学（理科） 2015.3
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
5． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
如果事件 、 互斥，那么 ．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式， ， ．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 是虚数单位，
A． B． C． D．
2．函数 的定义域为实数集 ，“ 是奇函数”是“ 是偶函数”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
3． 是等差数列， 与 的等差中项为1， 与 的等差中项为2，则公差
A． B． C． D．
4．函数 在区间 上单调递增，常数 的值可能是
A． B． C． D．
5．双曲线 ： 的两条渐近线夹角（锐角）为 ，则
A． B． C． D．
6．一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、
侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰
直角三角形，则它的体积
A． B． C． D．
7． 的二项展开式17个项中，整式的个数是
A． B． C． D．
8．设 ，集合 ， ，记“从集合 中任取一个元素 ， ”为事件 ，“从集合 中任取一个元素 ， ”为事件 ．给定下列三个命题：
①当 ， 时， ；
②若 ，则 ， ；
③ 恒成立．
其中，为真命题的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题（9～13题）
9．不等式 的解集为 ．
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点，
若 在第一象限， ，则点 的坐标为 ．
11．若变量 、 满足约束条件 ，则
的最大值 ．
12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果 ．
13．已知 与 之间的几组数据如下表：
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
假设根据上表数据所得线性回归方程为 ，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为 ，则 ， ．（填“ ”或“ ”）
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 上到直线 的距离为1的点的个数是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 的弦 、 相交于
点 ，若 ， ，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知 顶点的直角坐标分别是 、 、 ．
⑴求 的值；
⑵若 ，证明： 、 、 三点共线．
17．（本小题满分13分）
某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位： ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
组 距 频 数 频 率
[100，102) 17 0.17
[102，104) 18 0.18
[104，106) 24 0.24
[106，108)
[108，110) 6 0.06
[110，112) 3 0.03
合计 100 1
⑴求上表中 、 的值；
⑵估计该基地榕树树苗平均高度；
⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有 株，求 的分布列和期望．
18．（本小题满分14分）
设数列 的前 项和 ， ．
⑴求 的值；
⑵求数列 的通项公式；
⑶证明：对一切正整数 ，有 ．
19．（本小题满分13分）
如图4，直四棱柱 的底面是菱形，侧面是正方形， ， 是棱 的延长线上一点，经过点 、 、 的平面交棱 于点 ， ．
⑴求证：平面 平面 ；
⑵求二面角 的平面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）
平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离心率为 ，焦点为 、 ，直线 ： 经过焦点 ，并与 相交于 、 两点．
⑴求 的方程；
⑵在 上是否存在 、 两点，满足 ， ？若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数 ， 是自然对数的底数， ， 为常数．
⑴若 在 处的切线 的斜率为 ，求 的值；
⑵在⑴的条件下，证明切线 与曲线 在区间 至少有1个公共点；
⑶若 是 的一个单调区间，求 的取值范围．
评分参考
一、选择题 BACD DCBB
二、填空题 ⒐ 或 （每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）
⒑ （若写成 或 给3分，其他不给分）
⒒ ⒓ ⒔ ， （若两空一对一错，给3分） ⒕ ⒖
三、解答题
⒗⑴（方法一） ， ， ……3分
……6分（公式2分）
（方法二） ， ……2分
……6分（公式2分）
⑵（方法一） ， ……9分
∵ ，∴ 、 共线……11分
∵ 、 有共同的始点，∴ 、 、 三点共线……12分
（方法二）经过 、 两点的直线 的方程为
（即 ）……9分
设 ，由 得 ……10分
解得 ……11分
∵ （或 ），∴( 在 上) 、 、 三点共线……12分
⒘⑴ ， ……2分
⑵估计该基地榕树树苗平均高度为
( )……6分
（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）
⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此 的所有可能取值为0，1，2，3……7分
， ，
，
……11分
0 1 2 3
的分布列为
……12分
的期望为 ……13分（列式正确1分）
⒙⑴ ……1分
⑵ 时，
……4分（上式每个等号1分）
时， ，所以 ， ……5分
⑶由⑵知， 时， ……7分
……9分
……11分
……12分， ……13分
∵ 单调递增，∴ ， ……14分
⒚⑴设四棱柱 的棱长为
∵ ， ∽ ，∴ ……1分
由 ， ，得 ， ……2分
∵ ，∴ ， ……3分
是直四棱柱， ，又 ，∴ ，∵ ，∴ 平面 ……4分
∵ 平面 ，∴平面 平面 ……5分
⑵（方法一）过 作 于 ， 于 ，连接 ……6分
由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ……7分
∴ ，又 ， ，∴ 平面 ， ， 是二面角 的平面角……9分
在 中， ， ， ， ，在 中， ， ， ， （ 、 求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分
， ……13分
（方法二）以 为原点， 、 所在直线为 轴、 轴，平行于 的直线 为 轴建立空间直角坐标系……6分，则
， ， ……7分
设平面 的一个法向量为 ，则 ……9分，即 ，不妨取 ……10分，由⑴知 ， ……11分，平面 的一个法向量为
……12分，二面角 的平面角的余弦值 ……13分
⒛⑴依题意 ， ……2分，由 得 ……3分
，椭圆 的方程为 ……4分
⑵（方法一）若存在满足条件的直线 ，∵ ，∴ ，设直线 的方程为 ……5分
由 ……6分，得 ……7分
， （*）
……8分
设 ， ，则 ， ……9分
由已知 ，若线段 的中点为 ，则 ， ……10分
， 即 ……11分
由 ……12分，解得 ……13分
时， ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线
……14分
（方法二）假设存在 ， ，线段 的中点为 ，则 ， ……5分
由 两式相减得：
……7分，代入、化简得： ①……8分
由已知 ，则 ， ……9分
由 得， ②……10分
由①②解得 ，即 ……11分
直线CD的方程为： ……12分
联立 得 ……13分
∵ ，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线
……14分
21．⑴ ……1分
依题意， ，解得 ……2分
⑵由⑴ ，直线 的方程为 ，即 ……3分
作 ，
则 ……4分， ……5分（用其他适当的数替代 亦可）
因为 在 上是连续不断的曲线， ， 在 内有零点， ，从而切线 与曲线 在区间 至少有1个公共点……6分
⑶ ， 是 的一个单调区间当且仅当 在 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由 ，作
，由 得 ……7分
－ 0 +
↘ 最小值 ↗
……9分
在 上的最小值为 ，所以，当且仅当 时， 在 上单调递增……11分
下面比较 与 的大小
（方法一）由 ， ， 以及 在 上单调递减得 ……12分
……13分
，
∴ ，当且仅当 时， 在 上单调递减，综上所述， 的取值范围为 ……14分
（方法二）由 ， ，以及 的单调性知， ……12分
由 知， 单调递减……13分
由 得 ， ， ，∴ ，当且仅当 时， 在 上单调递减，综上所述， 的取值范围为 ……14分
（“单调递增……11分”以下，若直接写 ，再给1分）
点击下载：广东省江门市2015届高三3月模拟数学理试题
