九江市2015年第一次高考模拟统一考试
数 学（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、设复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、已知双曲线 的渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4、已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5、已知单调递增的等比数列 中， ， ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
6、在区间 上任取一个数 ，则使得 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7、在如下程序框图中，输入 ，若输出的 是 ，则程序框图中的判断框应填入（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数 （ ）的图象向左平移 个单位后得到 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9、若实数 ， 满足 （ ），且 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10、如图，网格纸上小正方形边长为 ，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
11、过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，交抛物线的准线于 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12、设函数 是定义在 上周期为 的函数，且对任意的实数 ，恒有 ，当 ， ．若 在 有且仅有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知 ， ，则 ．
14、在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为 的面积，则 的最大值为 ．
15、已知矩形 的顶点都在半径为 的的球 的球面上，且 ， ， 垂直于平面 ，交球 于 ，则棱锥 的体积为 ．
16、已知函数 ，若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知等差数列 中， ，其前 项和 满足 （ ）．
求数列 的通项公式；
令 ，求数列 的前 项和 ．
18、（本小题满分12分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在 分以下的学生后，共有男生 名，女生 名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了 名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为 组，得到如下所示频数分布表．
分数段
男 3 9 18 15 6 5
女 6 4 9 10 13 2
估计男、女生各自的成绩平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，判断数学成绩与性别是否有关；
规定 分以上为优分（含 分），请你根据已知条件作出 列联表，并判断是否有 %以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．
附表及公式
．
19、（本小题满分12分）如图，直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 和 上的点，且 ．
求证：当 时， ；
当 为何值时，三棱锥 的体积最小，并求出最小体积．
20、（本小题满分12分）已知椭圆 的中心在坐标原点，右焦点为 ， 、 是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上异于 、 的动点，且 面积的最大值为 ．
求椭圆 的方程；
求证：当点 在椭圆 上运动时，直线 与圆 恒有两个交点，并求直线 被圆 所截得的弦长 的取值范围．
21、（本小题满分12分）设函数 （其中 为自然对数的底数， ， ），曲线 在点 处的切线方程为 ．
求 ；
若对任意 ， 有且只有两个零点，求 的取值范围．
请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 交 于点 ，连接 、 、 、 ，延长 交 于 ．
证明： ；
证明： ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．
写出直线 的极坐标方程与曲线 的普通方程；
若点 是曲线 上的动点，求 到直线 的距离的最小值，并求出 点的坐标．
24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
当 时，解不等式 ；
若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
九江市2015年第一次高考模拟统一考试
数 学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 解： ， ，故选D.
2. 解: 故选A.
3. 解: ，半焦距 故选D.
4. 解： ，故选B.
5. 解: ， ， ， ， ，
故选B.
6. 解： ， 故选C.
7. 解： 时， ； 时， ； 时， ；…； 时， ，结束，故选B.
8. 解：由题意得 又
即 ， 故选C.
9. 解：依题意，得实数 满足 ，画出可行域如图所示，
其中 ， ，
解得 故选B.
10. 解：直观图如图所示四棱锥
故此棱锥的表面积为 ，故选A.
11. 解：设 ， ， ,则 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，得
联立方程组 ，解得 ， ，
故选D.
12. 解： 在 单调递减，如图所示，易得
依题意得 ， ，故选C.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 解： ， ， .
14. 解：
设 外接圆的半径为 ，则
，故 的最大值为 .
15. 解：如图所示， 过球心 ，
.
16. 解： 在 恒成立，即 在 恒成立
即 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 解:(1) ，
………2分
数列 为等差数列，设公差为 即 ………4分
又 ………6分
(2) ………9分
………12分
18.解:(1) ……2分
………4分
从男、女生各自的成绩平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关………5分
(2)由频数分布表可知：在抽取的100学生中，“男生组”中的优分有15（人），“女生组”中的优分有15（人），据此可得 列联表如下：
优分 非优分 合计
男生 15 45 60
女生 15 25 40
合计 30 70 100
………8分
可得 ………10分
因为 ，所以没有 的把握认为“数学成绩与性别有关”………12分
19. 证明：(1) 分别为 和 的中点
又 ，且三棱柱 为直三棱柱.
平行四边形 为正方形， ………2分
， 为 的中点， ，且三棱柱 为直三棱柱.
平面 ………4分
又 平面 平面 ………6分
(2)设 ，则 ， ， .由已知可得 到面 距离即为 的边
所对应的高 ………8分
( )
………10分
当 时，即 时， 有最小值为18………12分
圆心 到直线 的距离
( )
直线 与圆 恒有两个交点…………8分
…………10分
…………12分
21. 解:(1) ………2分
， ………3分
(2)由（1）得 ，
①当 时，由 得 ；由 得 .
此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
，
（或当 时， 亦可）
要使得 在 上有且只有两个零点，
则只需 ，即 …6分
②当 时，由 得 或 ；由 得 .此时 在 上单调递减，在 和 上单调递增. 此时
， 此时 在 至多只有一个零点，不合题意………9分
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ， 在 至多只有一个零点，不合题意.
综上所述， 的取值范围为 ………12分
22. 证明：(1) 为 的切线， 为切点， 为 的直径 ……1分
又 ………3分
又 ………5分
(2)由弦切角定理可知，
四边形 为圆 的内接四边形 ………8分
又 ………10分
23. 解(1)由 ，得 ………1分
直线的极坐标方程为:
即 即 ………3分
即曲线 的普通方程为 ………5分
(2)设 ，
到直线的距离
………8分
当 时， 此时
当 点为 时， 到直线的距离最小，最小值为 ………10分
24. 解:(1) ………1分
等价于 或 或 ………3分
解得 或 ，所以不等式的解集为 ………5分
(2)由不等式性质可知 ………8分
若存在实数 ，使得不等式 成立，则 ，解得
实数 的取值范围是 ………10分
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