清远市2015届高三上学期期末考试
数学（文）试题
第一卷（选择题 50分）
一、选择题（50分）
1、图中阴影部分表示的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若a，b R，i是虚数单位，若（1＋i）i＝a＋bi，则（ ）
A、a＝1，b＝1 B、a＝－1，b＝1 C、a＝－1，b＝－1 D、a＝1，b＝－1
3、设向量 ，则下列结论中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、直线l过点（－4,0）且与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝25交于A、B两点，如果｜AB｜＝8，那么直线l的方程为（ ）
A、5x－12y＋20＝0 B、x＋4＝0或5x－12y＋20＝0
C、5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 D、x＋4＝0
5、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知实数x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值是（ ）
A、7 B、8 C、9 D、10
7、一几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A、32－ B、32－ C、32－ D、32－
8、数列－1,4，－7,10，…，（－1）n（3n－2）的前n项和为Sn，则 ＝（ ）
A、－16 B、14 C、28 D、30
9、设平面 与平面 相交于直线m，直线a在平面 内，直线b在平面 内，且b⊥m，则“a⊥b”是“ ⊥ ”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
10、用min{a,b}表示a，b两数中的最小值，若函数f（x）＝min{｜x｜，｜x＋t｜}的图象关于直线x＝－1对称，若y＝f（x）－ x＋b有三个零点，则b的值是（ ）
A、1或－1 B、 或－ C、1或 D、－1或－
第二卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）
（一）必做题(11～13题)
11、命题“ ，使得 ＞0”的否定为＿＿＿＿＿＿＿
12、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
若用最小二乘法，计算得线性回归方程为
13、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14. (几何证明选讲选做题) 如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90º，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿
15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A（2， ）与曲线 上的点的最短距离为＿＿＿＿＿
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分)已知函数
（1）求函数 的最小值和最小正周期；
（2）设 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 , ，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.
17. （本小题12分）天猫电器城对TCL官方旗舰店某款4K超高清电视机在2014年11月11日的销售情况进行了统计，如图所示. 数据显示，该日TCL官方旗舰店在 小时销售了该款电视机2台.
（1）TCL官方旗舰店在2014年11月11日的销售量是多少？
（2）TCL官方旗舰店在2014年11月11日 小时销售了该款电视机多少台？
（3）TCL官方旗舰店对在 小时售出的该款电视机中随机取两台赠送礼物，求这两台电视机都是在 小时售出的概率？
18 .（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示.
（1）在三棱锥P-ABC中，求证：直线PA⊥平面ABC；
（2）在三棱锥P-ABC中，M、N、F分别是PC、BC、AC的中点,Q为MN上任取一点，求证：直线FQ∥平面PAB；
19.（本题满分14分）已知数列 的各项均为正数， 表示数列 的前n项的和，且 .
（1）求 ； （2）数列 的通项公式；
（3）设 ，记数列 的前 项和 .若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
20.（本题满分14分））已知椭圆C的方程为： ，椭圆的左右焦点 与其短轴的端点构成等边三角形，且满足 （c为椭圆C的半焦距）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 与椭圆C在 轴上方的一个交点为 ， 是椭圆的右焦点，试探究以 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
21. (本小题满分14分)已知函数 .
（1）当 时，试判断函数 的单调性；
（2）对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
清远市2014—2015学年度第一学期教学质量检测
高三文科数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D C A B B D
第二卷（非选择题，共100分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）
（一）必做题(11～13题)
11． 12. －20 13.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14. 30° 15. １
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）
16．解：(1) ＝ ………1分
= ………3分
………4分 -1 ……5分
，故其最小正周期是 ………6分
(2) ∵ …………7分
又∵0<2 <2π，∴ ……8分
∴ ， ………9分
∵B= ，∴A= ，∴△ABC 是直角三角形………10分
由正弦定理得到： = ，∴ ………11分
设三角形ABC的面积为S, ∴S= ………12分
17. 解：（1）设TCL官方旗舰店在2014年11月11日销售了该款4K超高清电视机n台，∵ ………2分 ∴ ………3分
（２）设TCL官方旗舰店在 小时销售了该款4K超高清电视机台数为m，其频率是Ｐ1，则Ｐ１＝ ……５分
∴ …６分（说明：(1)、(2)题中将“设”改为“答”也得分）
（３）∵TCL官方旗舰店在 小时销售了该款4K超高清电视机2台，
设为A、B；……７分
TCL官方旗舰店在 小时销售了该款4K超高清电视机 台，
设为甲、乙、丙、丁……８分
∴TCL官方旗舰店对在 小时售出的该款电视机中随机取两台赠送礼物的基本事件有：{A,B}、{A，甲}、{A，乙}、{A，丙}、{A、丁}、{B，甲}、{B，乙}、{B，丙}、{B、丁}、{甲，乙}、{甲，丙}、{甲、丁}、{乙，丙}、{乙、丁}、{丙，丁}共15个， ……10分
记“这两台电视机都是在 小时售出”为事件M，则事件M包含的基本事件有：{甲，乙}、{甲，丙}、{甲、丁}、{乙，丙}、{乙、丁}、{丙，丁}共6个，（也可列表）…11分
∴根据古典概率的概率计算公式， ……12分
18 .解：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知： …………2分
∵PA=AB= ,PB=4 ,则 …………4分
又ＡＢ ，…………5分 ∴PA⊥平面ABC…………6分
（2）证法一：∵M、N、F分别是PC、BC、AC的中点,连FN、MF，得平面FMN，……7分
∴直线MN∥直线PB，…………8分 直线FN∥直线AB，…………9分
又∵直线MN∩直线FN=N， 直线PB∩直线AB=B，…………11分
∴平面PAB∥平面MNF,…………12分（或者证明两相交线与面平行）
又∵FQ 平面MNF， ∴直线FQ∥平面平面PAB …………14分
证法二：连CQ延长交PB于K，连AK，…………7分
∵M、N分别是PC、BC的中点,∴直线MN∥直线PB且MN= PB，…………9分
∴Q为CK的中点，……10分 又∵F是AC的中点, 连AK，∴直线FQ∥直线AK，…12分
∵FQ 平面PAB，∴FQ∥平面PAB，…………14分
19.解析：（1）∵ ，∴ 且 ， ，…………2分
（2）∵ ，∴当 时， …………3分
∴ …………4分
∴ …………5分
又 ， ∴ ，…………6分（没有 扣1分）
是以1为首项，以1为公差的等差数列， …………7分
故 …………8分
（3）由bn＝ ＝ ＝ － ，…………9分
Tn＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .…………10分
∵ ≤k(n＋4)，
∴k≥ ＝ . …………11分
∵n＋ ＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当n＝ ，即n＝2时等号成立，…………13分
∴ ≤ ，因此k≥ ， 故实数k的取值范围为 ……14分
20.解 (Ⅰ)由题意知： ………… 2分，又∵
………………………… 5分
所以椭圆的方程为： ………………………… 6分
(Ⅱ)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为 ， ……8分
则以 为直径的圆方程是 ，…… 10分
圆心为 ，半径为 …… 11分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是 ，………… 12分
圆心是 ，半径是 ………… 13分
两圆心距为 ，所以两圆内切. …………………………… 14分
21. 解：（1）当 时，设 ∵ ………..1分
∴当 时， ;当 时， ;………..3分
∴当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减 ………..5分
(2) ∵对于任意的 ， 恒成立 ∴当 时， …..7分
∵
（i）当 时， , ∴ 在 上单调递增
∴ ,故 符合题意 ………..9分
(ii) 当 时，由 ,得
∴当 时， ；当 时，
∴ 在 上单调递减；在 上单调递增；
∴
∴ ∴ ………..11分
设
∵ ∴ 在 上单调递增；
∴ ，即 ，这与 矛盾, 不符合题意……….13分
综上， 的取值范围是 . ……….14分
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