清远市2015届高三上学期期末考试
数学（理）试题
第一卷（选择题 40分）
一、选择题（40分）
1、图中阴影部分表示的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知a，b R，i是虚数单位，若a＋bi与2－i互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ）
A、5－4i B、5＋4i C、3－4i D、3＋4i
3、已知 ，且 ，则a＝（ ）
A、－1 B、2或－1 C、2 D、－2
4、阅读如图的程序框图，若输入m＝2，n＝3，则输出a＝（ ）
A、6 B、4 C、3 D、2
5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A、y＝x＋1 B、y＝－x2 C、y＝ D、y＝x｜x｜
6、设平面 与平面 相交于直线m，直线a在平面 内，直线b在平面 内，且b⊥m，则“a⊥b”是“ ⊥ ”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
7、已知实数x，y满足约束条件 ，若 的最小值为3，则实数b＝（ ）
A、 B、 C、1 D、
8、设定义在（0，＋ ）上的函数 ，则当实数a满足 时，函数y＝g（x）的零点个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
第二卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）
（一）必做题(9～13题)
9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿
10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿
11、某几何体的三视图如下图所示：
其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿
12、已知圆C： ，直线：L：x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距离等于 ，则a的值为＿＿＿＿
13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为 ，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e等于＿＿＿＿＿
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14. (几何证明选讲选做题) 如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90º，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿
15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A（2， ）与曲线 上的点的最短距离为＿＿＿＿＿
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分)已知函数
（1）求函数 的最小值和最小正周期；
（2）设 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 , ，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.
17. （本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：
（1）估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
（2）从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。
18 .（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示。
（1）在三棱锥P-ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC;
（2）在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2， 求直线PB与平面PCD所成角的大小.
19.（本题满分14分）已知双曲线 的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为 ，过双曲线 的上支上一点 作双曲线 的切线交两条渐近线分别于点 （A、B在 轴的上方）.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）探究 是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.
20. (本小题满分14分）
设数列 的前 项和为 ，且满足 , ．
（1）求 ； （2）数列 的通项公式；
（3）设 ,求证： ．
21.（本题满分14分）设函数 .
(1)若函数 在 处有极值，求函数 的最大值；
（2）①若 是正实数，求使得关于 的不等式 在 上恒成立的 取值范围；
②证明：不等式.
清远市2015届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A D B A C
第二卷（非选择题，共110分）
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）
（一）必做题(9～13题)
9 .1 10. 11. 210 12. ¬.3 13. 5＋12
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14. (几何证明选讲选做题) 30° 15.(极坐标与参数方程选做题) 1
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）
16．解：(1) ＝ ………1分
= ………2分
………3分 -1 ……4分
，故其最小正周期是 ………5分
(2) ∵ …………7分
又∵0<2 <2π，∴ ……8分
∴ ， ………9分
∵B= ，∴A= ，∴△ABC 是直角三角形………10分
由正弦定理得到： = ，∴ ………11分
设三角形ABC的面积为S, ∴S= ………12分
17. 解：（1）由统计图知，
样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人）， ……2分
样本容量为70， ……3分
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝ ＝0.5．……4分
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率Ｐ1＝0.5． ……5分
(2)由题意可知 =0，1，2 ……7分
, ……8分 ……9分
……10分
的分布列为
X 0 1 2
……11分
的期望为 。 ……12分
18 .解：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知： …………1分
∵PA=AB= ,PB=4 ,…………2分 则 …………3分
又ＡＢ ，则PA⊥平面ABC …………5分
∵ 平面PAC ∴平面PAC⊥平面ABC. …………6分
（2）方法一：由（1）知 ,又 ，
∴ 平面PAC …………7分 ∵AB∥CD ∴ 平面PAC …………8分
过Ａ作 于Ｈ，则 …………9分
又∵ ∴ …………10分
又AB∥CD，AB 平面 ， ∴AB//平面 ，
∴点A到平面 的距离等于点B到平面 的距离. …………11分
∵在Rt△PAC中，PA =2 ，AC = 2 ，PC = 4
∴PC边上的高 ，此即为点A到平面PCD的距离 …………12分
设直线PB与平面PCD所成角为 ，则 ，…………13分
又 ，所以 即直线PB与平面PCD所成角的大小为 ； …………14分
方法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(2 ，0,0)，C(0，2 ，0)，P(0,0，2 )……9分
（解法一）∵AB∥CD， ∴ ，
又AC∥ED ∴四边形ACDE是直角梯形
∵AE = 2 ，AE∥BC，∴∠BAE = 135°，因此∠CAE = 45°.…………10分
所以D(- ，2 ，0).
∴ ， …………11分
设 是平面PCD的一个法向量，则
∴ 解得 取 得 …………12分
又 设 表示向量 与平面PCD的法向量 所成的角，
则 …………13分
∴ 即直线PB与平面PCD所成角的大小为 . …………14分
（解法二）∵AB∥CD，∴ …………10分
∴ ，…………11分
设 是平面PCD的一个法向量，则 即
∴ 解得 取 得 …………12分
则 …………13分
∴ 即直线PB与平面PCD所成角的大小为 . …………14分
19.解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为 ( ）………1分
∵c=2，………2分 ………3分 ∴ ………4分
∴双曲线的标准方程为 . ………5分
（2） 是定值2，理由如下：………6分
设直线AB： （没有b>0，不得分这1分）………7分
由 得
………8分
解得 ………9分
设
双曲线渐近线方程： 与 联立，………10分
得 ， …11分
，………12分 =3 ………13分
∴ = =2 ………14分
（没有 导致情况多种的扣2分）
20. 证明：（1）∵ ∴ ……………2分
（2）∵ ……①
∴当 时， ……② （没有n≥2扣1分）
∴①-②得, ……… ………5分
∵ , ∴ ………7分（没有验证n=1成立扣1分）
是首项为2，公比为 的等比数列， ………8分
(3)∵ ∴ ………10分
（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）
………12分
(说明：也可以 )
∴
………………14分
21.解：（1）由已知得： ， ………1分
又∵函数 在 处有极值 ∴ ，即 ……2分
∴ ………3分
∴,当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；………4分（或者列表）
∴函数 的最大值为 ………5分
（2）①由已知得： ………6分
(i)若 ，则 时，
∴ 在 上为减函数，
∴ 在 上恒成立； ………7分
(ii)若 ，则 时，
∴ 在 上为增函数，
∴ ，不能使 在 上恒成立；…8分
(iii)若 ，则 时， ， 当 时， ，∴ 在 上为增函数，
此时 ，∴不能使 在 上恒成立；9分
综上所述， 的取值范围是 . ………10分
②由以上得： , ………11分
取 得： ………12分
令 ， ………13分
则 ， .
因此 . ∴ ………14分
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