江西省红色六校2015届高三第二次联考数学理科试题
（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）
命题，审题：任弼时中学 莲花中学
数学试题分为（Ⅰ）（Ⅱ）卷，共22个小题。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则 = （ ）
. . . .
2．已知 是纯虚数, 是实数,那么 等于（ ）
．2i .i .-i .-2i
3．某校高考数学成绩 近似地服从正态分布 ，且 ， 的值为（ ）
A．0．49 B．0．52 C．0．51 D．0．48
4．某三棱锥的三视图如图所示，
该三梭锥的表面积是（ ）
. 28+6
. 30+6
. 56+ 12
. 60+12
5．已知函数 则方程 的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数 对定义域R内的任意x都有 ，且当 时，其导数 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．设 在约束条件 下，目标函数 的最大值小于2，则 的取值范围为（ ）
. . . . 8.设 ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．256
9.若集合 ，则 中元素个数为] （ ）
A .4个 B.6个 C . 2个 D. 0个
10规定函数 图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数 的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数 的“中心距离”大于1；②函数 的“中心距离”大于1；③若函数 与 的“中心距离” 相等，则函数 至少有一个零点．以上命题是真命题的个数有：（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
11已知曲线 与函数 及函数 的图像分别交于 ，则 的值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
12．如图，三棱柱OAD-EBC，其中A，B，C，D，E均在以O为球心，半径为2的球面上，EF为直径，侧面ABCD为边长等于2的正方形，则三棱柱OAD-EBC的体积为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空題:本大题共4小题,每小题5分共20分.
13． 在△ABC中，若 ，则 _________________。
14．等比数列 的前 项和为 ,公比不为1。若 ,且对任意的 都有 ,则 _________________。
15．若函数 对任意的 有 恒成立，则 .
16．已知集合M={1,2,3,4,5,6}，集合A、B、C为M的非空子集，若 ,x<y<z恒成立，则称“A–B–C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有 个.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知 , ,
且函数
（1）设方程 在 内有两个零点 ，求 的值；
（2）若把函数 的图像向左平移 个单位,再向上平移2个单位,得函数 图像,求函数 在 上的单调增区间.
18．（本小题满分12分）
已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn且满足
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若数列{bn}满足 ，求数列 的前n项和Tn．
19．（本小题满分12分）
在直角梯形ABCD中，ADBC， ,
,如图（1）．把 沿 翻折，使得平面 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若点 为线段 中点，求点 到平面 的距离；
（Ⅲ）在线段 上是否存在点N，使得 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知圆 点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．
（I）求动点P的轨迹C1的方程；
（Ⅱ）设 ，N为抛物线 上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（I）求实数 的值及函数 在区间 上的最大值；
（II）曲线 上存在两点 、 ，使得 是以坐标原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点在 轴上，求实数 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AC为⊙O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点．
（I）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC．BC= 2A D．CD．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与X轴的正半轴重合．直线 的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为： 为参数）．
（I）写出直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线 的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（I）解不等式 ；
（Ⅱ）当x∈R，0<y<1时，证明： 。
参考答案
一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D B C C A B A B C D
二．填空题
13. ； 14.11； 15。 ； 16. 111.
三、解答题
17．解：（1）由题设知 ，…2分
， ，…………………3分
得 或 ，………………………………………………………………5分
.…………………………………………6分
（2） 图像向左平移 个单位，得
再向下平移2个单位得 ………………………8分
……………9分
当 时 ;当 时, …………………………10分
在 的增区间为 , .………………………………12分
18.解：(Ⅰ)法一：设正项等差数列 的首项为 ，公差为 ， ………1分
则 ， ………2分
得 ………4分
………6分
法二： 是等差数列且 ， ，
又 ．…………………………………………………2分
，……………………………4分
， ． ……………6分
（Ⅱ） ， ………7分
． ……………12分
19、解： （Ⅰ）由已知条件可得 ．
∵平面 ， ．
∴ ．
又∵ ，∴ ．
（Ⅱ）以点 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得 ．
∴ ．
设平面 的法向量为 ，
则 ∴
令 ，得平面 的一个法向量为 ，
∴点M到平面 的距离 ．
（Ⅲ）假设在线段 上存在点N，使得 与平面 所成角为 ．
设 ，则 ，
∴ ，
又∵平面 的法向量 且直线 与平面 所成角为 ，
∴ ， 可得 ，∴ （舍去）．
综上，在线段 上存在点N，使 与平面 所成角为 ，此时 ．
20. 解：（Ⅰ）由已知可得，点 满足
所以，动点 的轨迹 是一个椭圆，其中 ， ………2分
动点 的轨迹 的方程为 . …………………4分
（Ⅱ）设 ，则 的方程为： ，联立方程组 ，消去 整理得： ，……6分
有 ，
而
点 到 的高为 …………10分
由 代入化简得：
即 ；
当且仅当 时， 可取最大值 . ……………12分
21.（本小题满分12分）
(2分)
当 时，
此时 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上单调递增，且 .
令 ，则 ，所以当 时，
在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 .
当 时， 在 上单调递减，且 ，所以 在 上的最大值为 .
综上可知，当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 . (8分)
（2） ，根据条件 ， 的横坐标互为相反数，不妨设 ， ， .
若 ，则 ，
由 是直角得， ，即 ，
即 .此时无解； (10分)
若 ，则 . 由于 的中点在 轴上，且 ，所以 点 不可能在 轴上，即 .
同理有 ，即 ， .
由于函数 的值域是 ，实数 的取值 范围是 即为所求. 12分
22. 解：（Ⅰ）连接 ，因为 为弧BC的中点，
所以 ．
因为 为 的中点，所以 ．
因为 为圆的直径，所以 ，
所以 ． …5分
（Ⅱ）因为 为弧BC的中点，所以 ，
又 ,则 ．又因为 ， ，所以 ∽ ．
所以 ， , . …10分
23. 解：（Ⅰ）
， ， .…………5分
（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为
所以，曲线 上的点到直线 的距离
………10分
解法二：曲线 为以 为圆心， 为半径的圆.圆心到直线的距离为
所以，最大距离为 ………10分
24. 解：（Ⅰ）由已知可得：
所以， 的解集为 . …………………5分
(II)由（Ⅰ）知， ；
. ……………………10分
说明：各题中出现的不同解法，请参照此标准相应给分。
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