青岛市高三统一质量检测
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 为虚数单位，复数 等于
A． B． C． D．
2．设全集 ，集合 ，则
A． B． C． D．
3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打
出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所
剩数据的平均数和方差分别为
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
4．“ ”是“数列 为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则
正视图中的 的值是
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
7．设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
8．函数 ( 为自然对数的底数)的图象可能是
A B C D
9．已知 的三边分别为 ，则 的面积为
A． B． C． D．
10．已知点 是 的外心， 是三个单位向量，且 ，如图所示， 的顶点 分别在 轴的非负半轴和 轴的非负半轴上移动，则 点的轨迹为
A．一条线段 B．一段圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数 ，若 ，
则 ；
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ；
13.在长为 厘米的线段 上任取一点 ，现作一矩形,邻边长分别等于线段 的长,则该矩形面积大于 平方厘米的概率为 ；
14. 设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为 ，则 的最小值为 ；
15. 若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于 ，空集 属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ．则称 是集合 上的一个拓扑．已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中是集合 上的一个拓扑的集合 的所有序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有 人，表演笛子演奏的有 人，表演唱歌的有 人.
（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；
（Ⅱ）若从甲社区表演队中选 人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率.
17．（本小题满分12分）
已知函数 图象上最高点的纵坐标为 ，且图象上相邻两个最高点的距离为 ．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求函数 在 上的单调递减区间.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， , , ， ， , 为 中点.
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）证明：平面 平面 .
19．（本小题满分12分）
已知数列 是等差数列， 为 的前 项和，且 ， ；数列 对任意 ，总有 成立.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分13分）
已知椭圆 上顶点为 ，右顶点为 ，离心率 ， 为坐标原点，圆 与直线 相切.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 与椭圆 相交于 、 两不同点，若椭圆 上一点 满足 .求 面积的最大值及此时的 .
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）若函数 的图象在点 处的切线过坐标原点，求实数 的值；
（Ⅱ）若 在 上为单调递增函数，求实数 的取值范围.
（Ⅲ）当 时，对于满足 的两个实数 ，若存在 ，使得 成立，试比较 与 的大小．
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数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．
D A B C D A C A B B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 12. 13. 14． 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为 ;
则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有
共 种 ……………………………4分
其中选出的两个表演项目相同的事件 种，所以 ………………………6分
（Ⅱ）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为
则从甲社区表演队中选 人的基本事件有
共 种
…………………………10分
其中至少有一位表演笛子演奏的事件有 种，所以 ………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
…………………………………………………………… 4分
当 时， 取得最大值
又 最高点的纵坐标为 ， ，即 ………………………………6分
又 图象上相邻两个最高点的距离为 , 的最小正周期为
所以 , …………………………………………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
由
得 ……………………………………………………10分
令 ，得： .
所以函数 在 上的单调递减区间为 ………………………………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结 交 于 ，
因为 为四棱柱，
所以四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点，
又 为 中点，所以 为 的中位线，
所以 ……………………………………………………………………………4分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设 ，
因为 ，所以
又 ， ，所以
, ,所以
，
从而 ， ,
所以 ， ,即 ……………………………………9分
因为 为四棱柱， 底面
所以侧棱 底面 ，又 底面 ,所以 ………………10分
因为 ，所以 平面 …………………………………………11分
因为 平面 ，所以平面 平面 ．……………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设 的公差为 ，
则
解得 ，所以 …………………………………………4分
又因为 ，
所以
两式相除得
因为当 时 适合上式，所以 ………………………………8分
（Ⅱ）由已知 ，
则
所以 ……………………………………………10分
从而 ，即 …………………………12分20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，直线 的方程为： ，即为
因为圆 与直线 相切，所以 ， …… ①……………2分
设椭圆的半焦距为 ，因为 ， ，
所以 …… ② …………………………………………………………………3分
由①②得：
所以椭圆 的标准方程为： ……………………………………………………5分
（Ⅱ）由 可得：
设 ，
则 ， ………………………………………………………7分
所以
又点 到直线 的距离
， …………………………10分
又因为 ，又 ，
令 ，则 ，
所以当 时, 最大值为
所以当 时, 的面积的最大值为 ………………………………………13分
21．（本小题满分14分）
解: （Ⅰ） ，
则 ，
函数 的图象在点 处的切线为：
切线过坐标原点， ，即
………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）
要使 在 上为单调递增函数，只要
令
①当 时， ，在 内 ，
函数 在 上为单调递增函数………………………………………………………4分
②当 时， 是开口向上的二次函数，
其对称轴为 ， 在 上递增，为使 在 上单调递增，必须
而此时 ，产生矛盾
此种情况不符合题意 ………………………………………………………6分
③当 时， 是开口向下的二次函数，
为使 在 上单调递增，必须 ，即 在 上恒成立，
又 ，
综合①②③得实数 的取值范围为 ………………………………………………8分
（Ⅲ） ， ．
因为对满足 的实数 ,存在 ，使得 成立，
所以 ，即 ，
从而
．…………………………………………11分
设 ，其中 ，则 ，因而 在区间 上单调递增， ，
， ，从而 ,又
所以 ，即 …………………………………………………………14分
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