2015年上海市高三年级六校联考
数学试卷（理科）
2015年3月6日
（完卷时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 已知 ， ，则 ．
2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围
是 ．
3. 设等差数列 的前项和为 ，若 ， ，
则 等于 ．
4. 若 是纯虚数（ 是虚数单位），则实数 的值为 ．
5. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ．
6. 执行右图的程序框图，如果输入 ，则输出的 值为 ．
7. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
8. 若 是 展开式中 项的系数，
则 ．
9. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为 ．
10. 若点 在曲线 （ 为参数， ）上，则 的取值范围是 ．
11. 从 这 个整数中任意取 个不同的数作为二次函数 的系数，则使得 的概率为 ．
12. 已知点 为椭圆 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点 的坐标为 ，则 取最大值时，点 的坐标为 ．
13、已知 、 、 为直线 上不同的三点，点 直线 ，实数 满足关系式
，有下列命题：
① ； ② ；
③ 的值有且只有一个； ④ 的值有两个；
⑤ 点 是线段 的中点．
则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）
14、已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，
设 若在数列 中， 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15、若 ，则“ 成立”是“ 成立”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
16、下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是增函数的为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
17、已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 的是 （ ）
（A） 且 （B） 且
（C） 且 （D） 且
18、对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，
则称函数 为“可等域函数”，区间 为函数 的一个“可等域区间”．
给出下列4个函数：
① ；② ；
③ ； ④ ．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）
（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④
三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．
19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．
在△ 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
且 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形， ， ， ， ， ．
（1）求异面直线 和 所成角的大小；
（2）求几何体 的体积．
21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本 （万元）与处理量 （吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨废弃物可得价值为 万元的某种产品，同时获得国家补贴 万元．
（1）当 时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．
已知数列 中， ，对任意的 ， 、 、 成等比数列，公比为 ； 、 、 成等差数列，公差为 ，且 ．
（1）写出数列 的前四项；
（2）设 ，求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前 项和 ．
23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．
如图，圆 与直线 相切于点 ，与 正半轴交于点 ，与直线 在第一象限的交点为 . 点 为圆 上任一点，且满足 ，动点 的轨迹记为曲线 ．
（1）求圆 的方程及曲线 的方程；
（2）若两条直线 和 分别交曲线 于点 、 和 、 ，求四边形 面积的最大值，并求此时的 的值．
（3）证明：曲线 为椭圆，并求椭圆 的焦点坐标．
2015年上海市高三年级 六校联考
数学试卷（理科）答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13．①③⑤ 14．
二、选择题
15. C 16. A 17. C 18. B
三、解答题
19. 解：（1）在△ 中， ．
所以 ．
，所以 ． ………………3分
由余弦定理 ，
得 ．
解得 或 ． ………………6分
（2）
. ………………9分
由（1）得 ，所以 ， ，
则 .
∴ .
∴ .
∴ 的取值范围是 . ………………12分
20. 解：（1）解法一：在 的延长线上延长至点 使得 ,连接 .
由题意得， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ，同理可证 面 .
∵ ， ，
∴ 为平行四边形，
∴ .
则 （或其补角）为异面直线 和
所成的角. ………………3分
由平面几何知识及勾股定理可以得
在 中，由余弦定理得
．
∵ 异面直线的夹角范围为 ，
∴ 异面直线 和 所成的角为 ． ………………7分
解法二：同解法一得 所在直线相互垂直，故以 为原点， 所在直线
分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分
可得 ，
∴ ，
得 . ………………4分
设向量 夹角为 ，则
．
∵ 异面直线的夹角范围为 ，
∴ 异面直线 和 所成的角为 ． ………………7分
（２）如图，连结 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 ，且 .
………………9分
∵ ……………11分
.
∴ 几何体 的体积为 .……14分
21. 解：（1）根据题意得，利润 和处理量 之间的关系：
………………2分
， .
∵ ， 在 上为增函数，
可求得 . ………………5分
∴ 国家只需要补贴 万元，该工厂就不会亏损． ………………7分
（2）设平均处理成本为
………………9分
， ………………11分
当且仅当 时等号成立，由 得 ．
因此，当处理量为 吨时，每吨的处理成本最少为 万元． ………………14分
22. 解：（1）由题意得
， ， 或 . ………………2分
故数列 的前四项为 或 . ………………4分
（2）∵ 成公比为 的等比数列，
成公比为 的等比数列
∴ ，
又∵ 成等差数列，
∴ .
得 ， ， ………………6分
，
∴ ， ，即 .
∴ 数列数列 为公差 等差数列，且 或 . ……8分
∴ 或 . ………………10分
（3）当 时，由（2）得 .
， ，
，
. ………………13分
当 时，同理可得 ， . ………………16分
解法二：（2）对 这个数列，猜想 ， 下面用数学归纳法证明：
ⅰ）当 时， ，结论成立.
ⅱ）假设 时，结论成立，即 .
则 时，
由归纳假设， . 由 成等差数列可知 ，于是 ，
∴ 时结论也成立.
所以由数学归纳法原理知 . ………………7分
此时 .
同理对 这个数列，同样用数学归纳法可证 . 此时 .
∴ 或 . ………………10分
（3）对 这个数列，猜想奇数项通项公式为 .
显然结论对 成立. 设结论对 成立，考虑 的情形.
由（2）， 且 成等比数列，
故 ，即结论对 也成立.
从而由数学归纳法原理知 .于是 （易见从第三项起每项均为正数）以及 ，此时 . ………………13分
对于 这个数列，同样用数学归纳法可证 ，此时 .
此时 . ………………16分
23. 解：（1）由题意圆 的半径 ，
故圆 的方程为 . ………………2分
由 得， ，
即 ，得
（ ）为曲线 的方程.（未写 范围不扣分）…4分
（2）由 得 ， ，
所以 ，同理 . ………………6分
由题意知 ，所以四边形 的面积 .
，
∵ ，∴ . ………………8分
当且仅当 时等号成立，此时 .
∴ 当 时，四边形 的面积最大值为 . ………………10分
（3）曲线 的方程为 （ ），它关于直线 、 和原点对称，下面证明：
设曲线 上任一点的坐标为 ，则 ，点 关于直线 的对称点为 ，显然 ，所以点 在曲线 上，故曲线 关于直线 对称，
同理曲线 关于直线 和原点对称.
可以求得 和直线 的交点坐标为
和直线 的交点坐标为 ，
， ， ， .
在 上取点 .
下面证明曲线 为椭圆：
ⅰ）设 为曲线 上任一点，则
（因为 ）
.
即曲线 上任一点 到两定点 的距离之和为定值 .
ⅱ）若点 到两定点 的距离之和为定值 ，可以求得点 的轨迹方程为 （过程略）.
故曲线 是椭圆，其焦点坐标为 . ………………18分
第（3）问说明：
1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分，
2. 直接写出焦点 的坐标给3分，未写出理由不扣分.
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