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数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 为虚数单位，复数 等于
A． B． C． D．
2．设全集 ，集合 ，则
A． B． C． D．
3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打
出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所
剩数据的平均数和方差分别为
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
4．“ ”是“数列 为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则
正视图中的 的值是
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线方程为
A． B． C． D．
7．设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
8．函数 ( 为自然对数的底数)的图象可能是
A B C D
9．对于函数 ，下列说法正确的是
A．函数图象关于点 对称
B．函数图象关于直线 对称
C．将它的图象向左平移 个单位，得到 的图象
D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍，得到 的图象
10．已知点 是 的外心， 是三个单位向量，且 ，如图所示， 的顶点 分别在 轴的非负半轴和 轴的非负半轴上移动， 是坐标原点，则 的最大值为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数 ，若 ，
则 ;
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;
13．设 ，则二项式 展开
式中的第 项的系数为 ;
14．若目标函数 在约束条件 下当且仅当在点 处取得最小值，则实数 的取值范围是 ;
15．若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于 ，空集 属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 .
则称 是集合 上的一个拓扑．已知集合 ，对于下面给出的四个集合 :
① ; ② ;
③ ; ④ .
其中是集合 上的一个拓扑的集合 的所有序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
设 的内角 所对的边分别为 ，已知 ， .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的面积.
17．（本小题满分12分）
某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请 名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：
学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院
人数
（Ⅰ）从这 名学生中随机选出 名学生发言，求这 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这 名学生中随机选出 名学生发言，设来自医学院的学生数为 ，求随机变量 的概率分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 为 中点.
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 和平面 所成角（锐角）的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知数列 是等差数列， 为 的前 项和，且 ， ；数列 对任意 ，总有 成立.
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分13分）
已知椭圆 与直线 相交于 、 两不同点，且直线 与圆 相切于点 ( 为坐标原点).
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 ，求实数 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， ， .
（Ⅰ）若函数 的图象在原点处的切线 与函数 的图象相切，求实数 的值；
（Ⅱ）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若对于 ，总存在 ，且 满 ，其中 为自然对数的底数，求实数 的取值范围.
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数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．
D A B C D A C A B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 12. 13. 14． 15．②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） …………………………2分
………………………………5分
， ………………………………………………………6分
（Ⅱ）由 ， ， ，得 ……………………………7分
由 得 ，从而 ， …………………………………………9分
故 …………………10分
所以 的面积为 . ……………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）从 名学生随机选出 名的方法数为 ，选出 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为 ……………………4分
所以 …………………6分
（Ⅱ） 可能的取值为
…………10分
所以 的分布列为
所以 ……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结 交 于 ，
因为 为四棱柱，
所以四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点，
又 为 中点，所以 为 的中位线，
从而 ……………………………………4分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． …………………………5分
（Ⅱ）因为 底面 ， 面 ， 面 ，
所以 又 ，所以 两两垂直. ……………6分
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系. 设 ，则 ， ， ， ， ， .
从而 ， .
因为 ，所以 ，解得 . ……………………8分
所以 ， .
设 是平面 的一个法向量，则 即
令 ，则 . …………………………………………………………9分
又 ， .
设 是平面 的一个法向量，则 即
令 ，则 . ………………………………………………………10分
平面 和平面 所成角（锐角）的余弦值 . ……………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设 的公差为 ，
则
解得 ，所以 ………………………………………………………3分
所以 …… ①
当
……②
①②两式相除得
因为当 适合上式，所以 ………………………………6分
（Ⅱ）由已知 ，
得
则
………………………7分
当 为偶数时，
………………………………………………………………9分
当 为奇数时，
……………………………………………………………11分
综上： … ………………………………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为直线 与圆 相切
所以圆 的圆心到直线 的距离 ，从而 …2分
由 可得：
设 ，
则 ， …………………………………………………4分
所以
所以 ………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ） 直线 与圆 相切于 ，
………………………………8分
由（Ⅰ）知 ，
，即
从而 ，即
……………………………………………………………12分
因为 ，所以 ………………………………………………13分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 原函数定义域为 ， ，则
， ， ………………………………………………………2分
由
与函数 的图象相切， ………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题 ,
令 ,
因为 对 恒成立，
所以 ，即 在 上为增函数 ………………………………6分
在 上单调递减
对 恒成立，即
…………………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当 时，
在区间 上为增函数，
时， …………………………………………………………………………10分
的对称轴为： ， 为满足题意，必须 ……11分
此时 ， 的值恒小于 和 中最大的一个
对于 ，总存在 ，且 满足 ，
…………………………………………………13分
……………………………………………………………………14分
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