重庆市名校联盟2014～2015学年下期联合考试
高2015级 数学试题卷（理工农医类）
命题：重庆市名校联盟命题组
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干
净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数.
5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
6．考试结束后，只将答题卡交回。
特别提醒：
（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
（1） 为虚数单位 ，则 （ ）
(A) (B) 4 (C) 2 (D)
（2）某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
（3）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 =（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 1
（4）已知 ，则 =( )
(A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5
（5）《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽•泉组合给一位歌手给出的评分分别是： ，现将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的 值及其统计意义分别是（ ）
(A) ，即 个数据的方差为 (B) ， 即 个数据的标准差为
(C) ，即 个数据的方差为 (D) ，即 个数据的标准差为
（6）下列命题中，是假命题的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，
可得这个几何体的体积是（ ）
(A) 2 （B）4 （C） 6 （D）
（8）如图 为双曲线C： 的左、右焦点，圆O： ，过原点的直线与双曲线C交于点P，与圆O交于点M、N，且 ，则 （ ）
（A）5 （B）30 （C）225 （D）15
（9）将4名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不
同的分配方法数为（ ）
(A) 12 (B) 16 （C）14 （D）18
（10）如图， 为 的外心， 为钝
角， 是边 的中点，则 =（ ）
（A） (B) 36 (C) 16 (D) 13
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．
（一）必做题（11-13题）
（11）已知全集 ，集合 ， ，则 .
（12）函数 的最大值是 .
（13）满足条件AB=2, 的三角形ABC的面积的最大值是 ．
（二）选做题（14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）
（14）如图， 是圆 的直径，过 、 的两条弦 和 相交于点 ，
若圆 的半径是3，则 的值 。
（15）以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为
的曲线与参数方程 （t为参数）的直线交
于A、B，则 。
（16）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（13分，第一问6分，第二问7分）设 的内角 的对边分别为 ,
.
(I)求证： ；
(II)若 ,求 的值。
（18）（13分,第一问6分，第二问7分）某校高二上期月考语文试题的连线题如下：
将中国四大名著与它们的作者连线，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连
线．其得分标准是：每连对一个得3分，连错得 分。
一名考生由于考前没复习本知识点，所以对此考点一无所知，考试时只得随意连线，现将该考生的
得分记作ξ．
（Ⅰ）求这名考生所有连线方法总数；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．
（19）（13分，第一问6分，第二问7分）如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC= =2，
D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD。
(Ⅰ) 求证：平面PCD⊥平面PAD；
(Ⅱ) 求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小。
（20）（12分，第一问6分，第二问6分）已知函数 。
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围。
（21）（12分，第一问4分，第二问4分，第三问4分）设椭圆 的长轴长为
6，离心率 ， 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆E标准方程；
（Ⅱ）设P ,Q 是椭圆E上的两点， ，且 , 设
，且 ,求 的值;
（Ⅲ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F1，F2的动直线 相交于P点，与椭圆分别交于A、B与
C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．是否存在定
点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．
（22）（12分，第一问4分，第二问8分）已知数列 满足 ，
且当 时， ，令 。
（Ⅰ）写出的所有 可能值；
（Ⅱ）求 的最大值和最小值。
名校联盟2014-2015学年下期高2015级联合考试
数学试题（理科）参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
1-5 A D A B A 6-10 C B D C D
10提示：如图建立直角坐标系，设B ，C ，A ，圆的半径为R。
则
又
二、填空题:本大题共5小 题，每小题5分，共25分．
11. 12. 4 13. 14. 36 15. 16.
13方法一：从三角函数角度思考，如图，
方法二：从解析几何思考，如图建直角坐标系，设动点
A（-1，0），B（1，0）
，所以动点C的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆，所以三角形ABC的高的最大值为 。所以 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）解：（Ⅰ） ……3分
……6分
（Ⅱ）
…13分
（18）解: (Ⅰ) 所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列，所以连线方法总数是 种。……6分
(Ⅱ) 的可能取值为 ……8分
， ，
……12分（每个1分）
的分布列为:
数学期望 ．……13分
（19）解 (Ⅰ) 证明:∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD ∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD
∵CD 平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD。………6分
（Ⅱ） 如图以D为原点,以 分别为 轴建立空间直角坐标系D－xyz.不妨设AB=BC= =2。则G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）， =（0，－1，0），
=（1，1，－1）
设平面EFG的法向量为 =（x，y，z）
∴
取 =(1,0,1) 平面PCD的一个法向量, =(1,0,0)。∴ 。
∴面GEF与面EFD所成锐二面角的大小 。……13分
（20）解：（Ⅰ） ，
① 当 时， 或
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 …3分
②当 时，
或
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 …6分
（Ⅱ）当 时，因为 ，所以不会有 。…8分
当 时，由（Ⅰ）知 在 单调递增，在 单调递减。
所以 在 上 ，由题意知
，所以的取值范围为 ……12分
（21）解：（Ⅰ） ，所以椭圆标准方程 …4分
（Ⅱ) ， ,则
6分
则
……8分
(Ⅲ) ，当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（ ，0）或
（ ，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．
∴l1的方程为y=m1（x+ ），l2的方程为y=m2（x﹣ ）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
联立 ，得到 ，
∴ ，、同理 。……9分
∵ =，
……10分
又满足k1+k2=k3+k4．
设点P（x，y），则 ，（x≠± ）……11分
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）也满足，
∴点P在椭圆 上，则存在点M、N其坐标分别为（- ，0）、（ ，0），使得|PM|+|PN|=2 为定值。……12分
（22）解：（Ⅰ）由题意满足条件的数列 的所有可能情况有：
① 0，1，2，1，0 。此时 =4；②0，1，0，1，0。此时 =2；③0，1，0，-1，0。此时 =0；④0，-1，-2，-1，0。此时 =-4；⑤0，-1，0，1，0。此时 =0；⑥0，-1，0，-1，0。此时 =-2，所以 的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4。……4分（5个结果，每一项0.8分）
（Ⅱ）由 ，可设 则 或 （ ，
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 为奇数， 是由 个1，和 个-1构成的数列。……………………8分
所以
则当 的前 项取1，后 项取-1时， 最大，此时
。…………10分
同理知，当 的前 项取-1，后 项取1时， 最小，此时 ………………12分.
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