福建省龙岩市2015届高三教学质量检查
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． =
A． B． C． D．
2．命题“对任意实数 ，关于 的不等式 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为
A． B．
C． D．
4．已知复数 （ 为虚数单位）为实数，
则 的值为
A． B．
C． D．
5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，[来源:学优高考网gkstk]
则这个几何体的表面积是
A． B．
C． D．
6．如图， 分别是射线 上的两点，给出下列向量：① ；
② ；③ ；④ ；⑤
若这些向量均以 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有
A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤
7．已知过抛物线 焦点的一条直线与抛物线相交于 ， 两点，若 ，则线段 的中点到 轴的距离等于
A． B． C． D．
8． 若函数 在区间 上有两个零点 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知函数 是 上的减函数，且函数 的图象关于点 对称．设动点 ，若实数 满足不等式 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如： ， ， ，……
依此类推可得： ，[来源:学优高考网]
其中 ， ．设 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
11．如右图所示的程序执行后输出的结果 为 ．
12．二项式 展开式中的常数项为 （用数字作答）.
13．已知点 在渐近线方程为 的双曲线
上，其中 ， 分别为其左、右焦点．若 的面积为16且
，则 的值为 ．
14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）．
15．已知动点 在函数 的图像上，定点 ，则线段 长度的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分13分）
已知在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 为钝角．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
17.（本小题满分13分）
某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为 的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过 ，且他直到第二次测试才合格的概率为 ．
（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；
（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
18.（本小题满分13分）
如图，已知 是圆 的两条互相垂直的直径，直角梯形 所在平面与圆 所在平面互相垂直，其中 ， ， ， ，点 为线段 中点．
（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且点 在平面 上的射影为线段 的中点，请求出线段 的长．
19.（本小题满分13分）
如图，已知椭圆 的离心率为 ，其左、右顶点分别为 ．一条不经过原点的直线 与该椭圆相交于 、 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，直线 与 的斜率分别为 ．试问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分14分）
已知函数 （ 为自然对数的底数），曲线 在 处的切线与直线 互相垂直.
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 ， ．问：是否存在正常数 ，对任意给定的正整数 ，都有 成立？若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分14分）
本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）已知二阶矩阵 ，若矩阵 属于特征值 的一个特征向量 ，属于特征值3的一个特征向量 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若向量 ，计算 的值．
（2）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），若以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ，设 是圆 上任一点，连结 并延长到 ，使 ．
（Ⅰ）求点 轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与点 轨迹相交于 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值．
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．
1-5 ACCAD 6-10 BDBCC
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．
11．15 12．10 13．7 14．288 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由
得 ，得
于是
又 ，∴ ……………………………………………6分
（Ⅱ）∵ 为钝角
于是 ，又 ，∴
由正弦定理可知，
所以
又 ， [来源:学优高考网]
∴ …………………………………………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为 ，
则
即 ， ，
解得 或 （舍去）
所以小刘第一次参加测试就合格的概率为 . …………………………6分
（Ⅱ） 的可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以 的分布列为
[来源:gkstk.Com]
………………………………13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题设 且平面 平面 ，可知 平面
又 是圆的直径，
因此，以点 为原点可建立空间直角坐标系如图
由于 是圆 的两条互相垂直的直径，且
所以四边形 是边长为4的正方形
则 ，， ， ， ， ，
， ，
是平面 的法向量
，
所以直线 平面 ………………………………………7分
（Ⅱ）点 在线段 上，可设
的中点为 ， ，
由题设有 平面
， ，
解得
，
线段 的长为 ………………………………13分
19.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题设可知
因为 即 ，所以 ．又因为
所以椭圆 的方程为： ………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：
由 知: ， …………………………………………………5分
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
联立方程组 ，消去 得:
解得点 的坐标为 ． ……………………8分
同理，可解得点 的坐标为 ……………………9分
由 三点共线，有 ， ………………10分
化简得 ．
由题设可知k1与k2同号，所以 ，即． …………12分
所以，存在 使得使得 . ……………………………13分
解法二：
由 知， ，
直线 方程化为 ，所以 过定点 ……………………5分
当直线 的倾斜角 时， ，
此时 ， ，
由此可猜想：存在 满足条件，下面证明猜想正确 …………………7分
联立方程组 ，
设 ，
则 ， …………………10分
，
所以 时，
=
………………………………12分
由此可得猜想正确，因此，存在 使得 成立 ………13分
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
依题意得： ，
……………………………4分
（Ⅱ）对任意的 ，
恒成立等价于 [来源:gkstk.Com]
对 恒成立，即 对 恒成立
令 , 则
由 得： 或 （舍去）
当 时， ；当 时，
在 上递减，在 上递增
………………………………………9分
（Ⅲ） = ，
……………………………10分
因此有
由
得 ，
…………………………11分
，取 ( )，
则
， ………………12分
当 趋向于 时， 趋向于 ． ……………………………13分
所以，不存在正常数 ，对任意给定的正整数 ，
都有 成立． …………………………14分
（2）（Ⅰ）圆 的直角坐标方程为 ，设 ，则 ，
∴
∴ 这就是所求的直角坐标方程. ……………3分
（Ⅱ）把 代入 ，即代入
得 ，即
令 对应参数分别为 ，则 ，
所以 . …………………7分
（3）（Ⅰ） ,
由 得 ，
所以所求不等式的解集为 . ………………………………4分
（Ⅱ）当 时，
因为 既存在最大值，也存在最小值，
所以 ，所以
所以 的取值集合为 . ………………………………………7分
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