广东五校2015届高三年级联考试题
数 学 (理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设条件p： ；条件q： ，那么p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．下列命题不正确的是
A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；
B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；
C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
D．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直.
5．已知函数 则下列结论正确的是 （ ）
A. 是偶函数 B. 的值域为
C. 是周期函数 D. 是增函数
6．在△ABC中，AB=2，AC=3， ，则 .
A. B. C. D.
7．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）
A． B． C． D．
8．在空间中,过点 作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面,对空间任意一点 , ,恒有 ,则 （ ）
A．平面 与平面 所成的(锐)二面角为 B．平面 与平面 垂直
C．平面 与平面 平行 D．平面 与平面 所成的(锐)二面角为
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9. 复数 的值是 ．
10.若数列 满足： ，
其前 项和为 ，则 ．
11. 执行如图的程序框图，那么输出 的值是 .
12. 已知不等式组 所表示的平面区域的面积为 ，则 的值为__________.
13．将 六个字母排成一排,且 均在 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)
14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 （ 为参数），
曲线 （ 为参数）.若曲线 、 有公共点，
则实数 的取值范围____________．
15．（几何证明选讲）如图，点 是圆 上的点,
且 ,则 对应的劣弧长为 ．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
在平面直角坐标系下，已知 ， ， ， ．
（1）求 的表达式和最小正周期；
（2）当 时，求 的值域。
17．（本题满分12分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 ， … 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在 内的频率，并补全这个
频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组
区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的
平均分；
（Ⅲ）若从 名学生中随机抽取 人，抽到
的学生成绩在 记 分，在 记 分，
在 记 分，用 表示抽取结束后的总记分，
求 的分布列和数学期望.
18．（本题满分14分）
如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为
平行四边形，DC 平面ABC , ，
已知AE与平面ABC所成的角为 ,且 ．
（1）证明：平面ACD 平面 ；
（2）记 ， 表示三棱锥A－CBE的体积，求 的表达式；
（3）当 取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小．
19．（本题满分14分）
已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 ，
令 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求证： （ ）.
20．（本题满分14分）
已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 .
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 是否存在满足 的点 ? 若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标）; 若不存在，说明理由.
21．（本题满分14分）
已知函数 .
(1) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线 有唯一公共点.
(3) 设a<b, 比较 与 的大小, 并说明理由.
数学（理科）参考答案
一、选择题：（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A A C D B A C B
二、填空题（每题5分，共30分）
9． 10． 11. 12．1 13．480
14． （ 或 ） 15．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
解: 解：（1） ， …………1分
∴ ,
∴ , …………6分
∴ 的最小正周期为 , …………8分
（2）∵ ∴ ∴ ．
∴ ．所以函数 的值域是 . …………12分
17．（本题满分12分）
(Ⅰ)设分数在 内的频率为 ，根据频率分布直方图，
则有 ，
可得 ，所以频率分布直方图如右图所示.
………………4分
（求解频率3分，画图1分）
（Ⅱ）平均分为：
． …………7分
（Ⅲ）学生成绩在 的有 人，在 的有 人，
在 的有 人.并且 的可能取值是 . …………………………8分
则 ； ； ；
； .
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
………………………………………………………11分
…………………12分
18．（本题满分14分）
解:（１）证明：∵四边形DCBE为平行四边形 ∴ ， ------1分
∵ DC 平面ABC , 平面ABC ∴ ． ----------2分
∵AB是圆O的直径 ∴ 且
∴ 平面ADC．
∵DE//BC ∴ 平面ADC ---------------------------------------3分
又∵ 平面ADE ∴平面ACD 平面 ----------------4分
（2）∵ DC 平面ABC ∴ 平面ABC
∴ 为AE与平面ABC所成的角，即 ＝ -------------------5分
在Rｔ△ABE中，由 , 得 ------------6分
在Rｔ△ABC中 ∵ （ ）
∴ ------------------------------------7分
∴ （ ）-----8分
（3）由（2）知
要 取得最大值，当且仅当 取得最大值，
∵ ------------------------------------------------------9分
当且仅当 ，即 时，“＝”成立，
∴当 取得最大值时 ,这时△ACB为等腰直角三角形------------10分
解法1：连结CO，DO
∵AC=BC,DC=DC
∴ ≌ ∴AD=DB
又∵O为AB的中点 ∴
∴ 为二面角D－AB－C的平面角------------12分
在 中 ∵ ,
∴ , ∴ =
即当 取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．------------------------14分
解法2：以点O为坐标原定，OB为x轴建立空间直角坐标系如图示：
则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1, )，
∴ ,
平面ABC的法向量 ，-------------------11分
设平面ABD的法向量为
由 得
令 ，则 ∴ -------------12分
设二面角D－AB－C的大小为 ，则
∴ ,即二面角D－AB－C的大小为60°．------------------------------------14分
19．（本题满分14分）
解：【解】
（1）由题意知 即 -------2分
∴ -------3分
-----6分
检验知 、 时，结论也成立，故 ． -------7分
（2）由于
--------9分
故
---------11分
． ---------14分
20．（本题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
(1) 解法1：设椭圆 的方程为 ,
依题意: 解得: ………2分
∴ 椭圆 的方程为 . ………3分
解法2：设椭圆 的方程为 ，
根据椭圆的定义得 ，即 ， ………1分
∵ ， ∴ . ………2分
∴ 椭圆 的方程为 . ………3分
(2)解法1：设点 , ，则 ，
，
∵ 三点共线, （∴ . ……4分
∴ ,
化简得： . ① ………5分
由 ,即 得 . ……6分
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，即 . ②
同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 . ③ ……………8分
设点 ，由②③得： ，
而 ，则 . ……………9分
代入②得 ， ……………10分
则 ， 代入 ① 得 ，即点 的轨迹方程为 . ………11分
若 ，则点 在椭圆 上，而点 又在直线 上，
…12分
∵直线 经过椭圆 内一点 ,
∴直线 与椭圆 交于两点. ………13分
∴满足条件 的点 有两个. …………14分
解法2：设点 , ， ，
由 ,即 得 . …………4分
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 . ………5分
∵ ， ∴ .
∵点 在切线 上, ∴ . ① ……6分
同理， . ② ………7分
综合①、②得，点 的坐标都满足方程 . ………8分
∵经过 的直线是唯一的，
∴直线 的方程为 ， ………9分
∵点 在直线 上， ∴ . ………10分
∴点 的轨迹方程为 . ………11分
若 ，则点 在椭圆 上，又在直线 上，12分
∵直线 经过椭圆 内一点 ,
∴直线 与椭圆 交于两点. ……13分
∴满足条件 的点 有两个. ……14分
解法3：显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 . ……4分
设 ,则 . ………5分
由 ,即 得 . ………6分
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，即 .…7分
∵ ， ∴ .
同理,得抛物线 在点 处的切线 的方程为 . ……………8分
由 解得
∴ . ………10分
∵ ,
∴点 在椭圆 上. ………11分
∴ .
化简得 .(*) …………12分
由 , ………13分
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 有两个. ………14分
21．（本题满分14分）
解：(1) f (x)的反函数 ,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k= .
.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 。。。。。。3分
(2) 证明曲线y=f(x)与曲线 有唯一公共点,过程如下.
因此,
所以,曲线y=f(x)与曲线 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 。。。。。8分
(3) 设
令 .
,且
.
所以 。。。。。。。。。。。。。。。。14分
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