机密★启用前 试卷类型：A
湖北省七市（州）2015届高三3月联合考试
数学（文史类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数z满足 ，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是
4．（4，2） B．（4，-2） C．（2，4） D．（2，-4）
2．设集合 ， ，那么“x∈A”是“x∈B”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
A． B． C． D．
4．已知命题p： ，x-1>lnx．命题q： ， ，则
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（ q）是真命题 D．命题p∨（ q）是假命题
5．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是
A．
B．
C．7
D．6
6．已知函数 的部分图象如图所示，为了得到 的图像，只需将， 的图像
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
7．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，若数列 满足 ，且 ，则 =
A．6 B．-6 C．2 D．-2
8．若 ， ， （其中e为自然对数的底数），则a、b、c的大小关系正确的是
A． b>a>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>b>c
9．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1吨甲产品需要用电2千度、用煤2吨、劳动力6人，产值为6千元；每生产1吨乙产品需要用电2千度、用煤4吨、劳动力3人，产值为7千元．但该厂每天的用电不得超过70千度、用煤不得超过120吨、劳动力不得超过180人．若该厂每天生产的甲、乙两种产品的数量分别为x、y（单位：吨），则该厂每天创造的最大产值z（单位：千元）为
A．260 B．235 C．220 D．210
10．过曲线 的左焦点F作曲线 的切线，设切点为M，延长FM交曲线 于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为
A． B． C． +1 D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填在答题卡相应位置上。）
11．某学校高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为160的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生．
12．已知角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（ ）= ▲ ．
13．已知向量 =（2，m）， =（1， ），且向量 在向量 方向上的投影为1，则| |= ▲ ．
14．设等差数列 的前n项和为 ，若 =1，则其公差为 ▲ ．
15．执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数 的最大值为 ▲ ．
16．已知A、B为圆 上的任意两点，且|AB|≥8．若线段AB的中点组成的区域为M，在圆O内任取一点，则该点落在区域M内的概率为 ▲ ．
17．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数到中的第 ▲ 项．
三、解答题（本大题共5小题，满分65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
18．（本小题满分12分）
已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设m=（a-b，c），n=（a-c，a+b），且m∥n．
（1）求∠B;
（2）若a=1，b= ，求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，在△AOB中，∠AOB= ，∠BAO= ，AB=4，D为线段BA的中点．△AOC由△AOB绕直线AO旋转而成，记∠BOC= ， ∈（0， ]．
（1）证明：当 = 时，平面COD⊥平面AOB；
（2）当三棱锥D-BOC的体积为1时，求三棱锥A-BOC的全面积．
20．（本小题满分13分）
设 为公比不为1的等比数列， =16，其前n项和为 ，且5 、2 、 成等差数列．
（l）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式 > 恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数 （a∈R，e是自然对数的底数）．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当a=1时，正实数m、n满足m+n=2mn．试比较 与 的大小，并说明理由；
（3）讨论函数 的零点个数．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆 ，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为- ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
2015年3月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试
数学(文史类)参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一．选择题：A卷 DCACA DCACB
B卷 BCDCA CAABD
二．填空题：11．48 12． 13．2 14．6 15．3 16． 17．2016
三．解答题：
18．(1)解：∵m∥n，∴ 2分
∴ 3分
由余弦定理得： 5分
又 ． 6分
(2)解：∵ ，由正弦定理得
，∴ 8分
∵a < b，∴A < B，∴ 10分
故 11分
∴ ． 12分
19．(1)证：当 时， ，即 1分
又 ，
∴OC⊥平面AOB 3分
∵OC平面COD
∴平面COD⊥平面AOB． 4分
(2)解：在Rt△AOB中，
∴ 5分
取OB的中点E，连接DE，则DE∥AO 6分
∴ 7分
又AO⊥平面BOC，∴DE⊥平面BOC 8分
∴
∴ ， 10分
∴△BOC是等边三角形，∴
∴等腰三角形ABC的面积为
△AOB与△AOC的面积都是
△BOC的面积为
∴多面体A－BOC的全面积是 ． 12分
20．(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列
∴ ，即 2分
∴
∵ ，∴q = 2 4分
又∵ ，即 ，
∴ ． 5分
(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式 都成立
则 7分
又 9分
所以 10分
显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以
∴ ，解得k≥2． 12分
所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式 都成立
且正整数k的最小值为 ． 13分
21．(1)解：依题意，函数 的定义域为 1分
，令 ，得 2分
当a≤0时， 在 总成立，函数 的增区间是
当a > 0时，由 得
此时函数 的增区间是 ，减区间是 4分
(2)解：∵ ，∴ ，即 （当且仅当 时取等号）
∴ 6分
由(1)知a = 1时，函数 的增区间是(0，1)，减区间是(1，+∞)
∴ 8分
(3)解： ，由 得
令 ， 10分
∵ ，∴ ，∴
∴ 在 上是增函数，
∴当 时函数 只有一个零点
当 或 时函数 没有零点． 14分
22．(1)解： ，设 ，则
依题意 ，得
∴椭圆标准方程为 5分
(2)解：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = kx + p，代入椭圆方程得
(1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2－8 = 0 6分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点
所以△=16k2p2－4(1 + 2k2)(2p2－8) = 8(4 + 8k2－p2) = 0
即4 + 8k2 = p2 8分
设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则
即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*)，或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)
由(*)恒成立，得 ，解得 12分
(**)不恒成立.
②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为 时
定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积 .
综上，存在两个定点(2，0)、(2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4． 14分
注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分；
第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。
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