机密★启用前 试卷类型：A
湖北省七市（州）2015届高三3月联合考试
数学（理工类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数z满足 ，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是
A．（4，2） B．（4，-2） C．（2，4） D．（2，-4）
2．设集合 ， ，那么“x∈A”是“x∈B”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
④若某项测量结果 服从正态分布N（1， ），且P（ ≤4）=0．9，则P（ ≤-2）=0．1．
其中真命题的个数为
A．1 B．2 C 3 D．4
4．已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则 • =
A．4 B．2 C．1 D．
5．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是
A．
B．
C．7
D．6
6．已知函数 的部分图象如图所示，为了得到 的图像，只需将 的图像
A．向左平移 个单位长度
B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
7．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，若数列 满足 ，且 ，则 =
A．6 B．-6 C．2 D．-2
8．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定谁先到后必须等10分钟，若等待10分钟后另一人还没有来就离开．如果甲是8：30分到达的，假设乙在8点到9点内到达，且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的，则他们见面的概率是
A． B． C． D．
9．过曲线 的左焦点F作曲线 的切线，设切点为M，延长FM交曲线 于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为
A． B． C． +1 D．
10．设函数 在[-1，t]上的最小值为N（t），最大值为M（t），若存在最小正整数k，使得M（t）- N（t）≤k（t+1）对任意tt∈（-1，b]成立，则称函数 为区间（-1，b]上的“k阶 函数”，若函数 =x2为区间（-1，4]上的“k阶 函数”，则k的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡相应位置上。）
（一）必考题（11-14题）
11．已知角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（ ）= ▲ ．
12．若函数 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则 的展开式中的常数项为 ▲ （用数字作答）．
13．执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数 的最大值为 ▲ ．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数到中的第 ▲ 项．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分。）
15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ▲ ．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 与曲线 相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= ▲ ．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设m=（a-b，c），n=（a-c，a+b），且m∥n．
（1）求∠B;
（2）若a=1，b= ，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
设 为公比不为1的等比数列， =16，其前n项和为 ，且5 、2 、 成等差数列．
（l）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式 > 恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点．
（l）求证：EP⊥AC;
（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小．
20．（本小题满分12分）
十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65,75）
频数 6 10 12 12 5 5
赞成人数 3 6 10 6 4 3
（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；
（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
21．（本小题满分13分）
已知椭圆 ，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为- ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分14分）
已知函数 （a∈R）．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；
（3）已知当x>-1,n≥1时， ，求证：当n∈N*，x2<n时，不等式 成立．
2015年3月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试
数学(理工类)参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一．选择题：A卷 DCBCB BCDBD
B卷 BCCBB BACDA
二．填空题：11． 12．15 13．3 14．2016 15． 16．
三．解答题：
17．(1)解：∵m∥n，∴ 2分
∴ 3分
由余弦定理得： 5分
又 ． 6分
(2)解：∵ ，由正弦定理得
，∴ 8分
∵a < b，∴A < B，∴ 10分
故 11分
∴ ． 12分
18．(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列
∴ ，即 2分
∴
∵ ，∴q = 2 4分
又∵ ，即 ，
∴ ． 5分
(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式 都成立
则 7分
又 9分
所以 10分
显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以
∴ ，解得k≥2． 11分
所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式 都成立
且正整数k的最小值为 ． 12分
19．(1)证：设AC交BD于O，
∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC 1分
又∵BD⊥AC，
又∵ ，∴ . 4分
(2)解：设AB = 2，如图建立空间直角坐标系，则
G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0， )，F( ， ， )，B(1， ，0) 5分
∴
设 ，
故点
∴ 6分
设面EFG的法向量为n = (abc)
∵
∴ ，令a = 1得n = (1，1，0) 7分
设BP与平面EFG所成角为 ，则
= 8分
∵点P在线段FG上，∴ ，即 =1时 取最大值
此时点P与点F重合 9分
设二面角P－BD－C的大小为
∵点P到平面ABCD的距离为 ，点P到BD的距离为1 10分
则
∴二面角P－BD－C的大小为 ． 12分
20．(1)解：赞成率为 2分
被调查者的平均年龄为20×0.12 + 30×0.2 + 40×0.24 + 50×0.24 + 60×0.1 + 70×0.1 = 43 4分
(2)解：由题意知：
8分
∴ 的分布列为：
∴ ． 12分
21．(1)解： ，设 ，则
依题意 ，得 ，∴椭圆标准方程为 4分
(2)解：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = kx + p，代入椭圆方程得
(1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2－8 = 0 5分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点
所以△=16k2p2－4(1 + 2k2)(2p2－8) = 8(4 + 8k2－p2) = 0，即4 + 8k2 = p2 7分
设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则
即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*)，或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)
由(*)恒成立，得 ，解得 11分
(**)不恒成立.
②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为 时
定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积 .
综上，存在两个定点(2，0)、(2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4． 13分
注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分；
第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。
22．(1)解： 1分
当a≤0时， ，则 在 上单调递增 2分
当a > 0时， 在 上单调递减， 在 上单调递增． 4分
(2)解：由 ，得 5分
考查函数 (x∈[1，2])，则 6分
令 ，
当1≤x≤2时， ，∴ 在[1，2]上单调递增 7分
∴ , ，∴ 在[1，2]上单调递增
∴ 在[1，2]上的最小值为 ，最大值为 8分
∴当 时，函数 在[1，2]上有且仅有一个零点 9分
(3)解： 10分
由(1)知 ，则 11分
∵ ，且n∈N*，∴ ，∴ 12分
又∵ ，∴ 13分
14分
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