试卷类型：A
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）
2015.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集 , 集合 , , 则集合 可以表示为
A． B． C． D．
2．已知向量 ，若 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
3. 若某市 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图 ），其中茎为十位数，
叶为个位数，则这组数据的中位数是
A. B.
C. D.
4．已知 为虚数单位，复数 的虚部 记作 ，则
A． B． C． D．
5. 设抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，则点 到抛物线 的焦点的距离是
A． B． C． D．
6. 已知△ 的三边 所对的角分别为 ,且 , 则 的值为
A. B. C. D.
7. 已知数列 为等比数列，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
8. 若直线 上存在点 满足约束条件 则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，
其体积为 ，则该锥体的俯视图可以是
图2
A. B. C. D.
10．已知圆 的圆心为坐标原点，半径为 ，直线 为常数， 与圆
相交于 两点，记△ 的面积为 ，则函数 的奇偶性为
A．偶函数 B．奇函数
C．既不是偶函数，也不是奇函数 D．奇偶性与 的取值有关
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11. 函数 的定义域为 .
12. 已知e为自然对数的底数，则曲线 e 在点 处的切线斜率为 .
13. 已知函数 ，点 为坐标原点, 点 N ， 向量 ，
是向量 与 的夹角，则 的值为 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系 中，曲线 和 的参数方程分别为 为参数
和 为参数 ．以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲
线 与 的交点的极坐标为 .
15. （几何证明选讲选做题）
如图3， 是圆 的一条弦，延长 至点 ，
使得 ，过 作圆 的切线， 为切点，
的平分线 交 于点 ，则 的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 是第一象限角，且 ，求 的值.
分组 频数 频率
合计
17．（本小题满分12分）
从广州某高校男生中随机抽取 名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:
（1）求 的值；
（2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这 名学生中抽取 名担任广州国际马拉松
志愿者, 再从身高不低于 cm的志愿者中随机选出 名担任迎宾工作, 求这 名
担任迎宾工作的志愿者中至少有 名的身高不低于 cm的概率.
表1
18.（本小题满分14分）
如图4，在边长为 的菱形 中， ，点 ， 分别是边 ， 的中点， ．沿 将△ 翻折到△ ，连接 ，得到如图5的五棱锥 ，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
19.（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 , , N .
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）是否存在正整数 ，使 ， ， 成等比数列? 若存在，求 的值； 若不存
在，请说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线 的顶点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且点 的坐标为 ，点 是椭圆 上异于点 , 的任意一点，点 满足 ， ，且 ， ， 三点不共线.
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 求点 的轨迹方程；
(3) 求 面积的最大值及此时点 的坐标.
21.（本小题满分14分）
已知 为常数，且 ，函数 的最小值和函数
的最小值都是函数 R 的零点.
（1）用含 的式子表示 ，并求出 的取值范围；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A B C C A C A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 12. 13. 14. 15.
说明: 第14题答案可以是 Z.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：
…………………………1分
…………………………2分
…………………………3分
. …………………………4分
∴ 函数 的最小正周期为 . …………………………5分
（2）解：∵ ， ∴ . …………………………6分
∴ .
∴ . …………………………7分
∵ 是第一象限角，
∴ . …………………………8分
∴ . …………………………9分
∴ …………………………10分
…………………………11分
. …………………………12分
17. （本小题满分12分）
（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）
（1）解: 由 ，得 . …………………………1分
由 ，得 ， …………………………2分
由 ，得 . …………………………3分
（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的 名志愿者中身高在区间 上的有
名，记为 ； …………………………………………5分
而身高在区间 上的有 名，记为 . ……………………7分
记“这 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 名的身高不低于 cm”为事件 ，
从身高不低于 cm的志愿者中随机选出 名担任迎宾工作，共有 种不同取法：
， ，
， ， ． …………………………9分
事件 包含的基本事件有 种： ， ，
， ． …………………………11分
∴ 为所求． …………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ∥ . …………………………1分
∵菱形 的对角线互相垂直，
∴ . …………………………2分
∴ . …………………………3分
∴ ， . …………………………4分
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 . …………………………5分
∴ 平面 . …………………………6分
（2）解：设 ，连接 ，
∵ ，
∴△ 为等边三角形. …………………………7分
∴ ， ， ， . ……………………8分
在R t△ 中， ， …………………………9分
在△ 中， ， …………………………10分
∴ . …………………………11分
∵ ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 . …………………………12分
梯形 的面积为 ，………………………13分
∴四棱锥 的体积 .………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）
（1）解：∵ , ,
∴ . …………………………1分
∴ . …………………………2分
∴ . …………………………3分
（2）解法1: 由 , 得 . ……………………4分
∴ 数列 是首项为 , 公差为 的等差数列.
∴ . …………………………5分
∴ . …………………………6分
当 时, …………………………7分
. …………………………8分
而 适合上式，
∴ . …………………………9分
解法2: 由 , 得 ，
∴ ． ① …………………………4分
当 时， ，②
① ②得 ，
∴ ． …………………………5分
∴ ． …………………………６分
∴ 数列 从第２项开始是以 为首项, 公差为 的等差数列. ………７分
∴ . …………………………８分
而 适合上式，
∴ . …………………………9分
（3）解：由(2)知 , .
假设存在正整数 , 使 , , 成等比数列,
则 . …………………………10分
即 . …………………………11分
∵ 为正整数,
∴ .
得 或 , …………………………12分
解得 或 , 与 为正整数矛盾. …………………………13分
∴ 不存在正整数 , 使 , , 成等比数列. …………………………14分
20.（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1： ∵ 双曲线 的顶点为 , , …………1分
∴ 椭圆 两焦点分别为 , .
设椭圆 方程为 ，
∵ 椭圆 过点 ，
∴ ，得 . ………………………2分
∴ . ………………………3分
∴ 椭圆 的方程为 . ………………………4分
解法2: ∵ 双曲线 的顶点为 , , …………………1分
∴ 椭圆 两焦点分别为 , .
设椭圆 方程为 ，
∵ 椭圆 过点 ，
∴ . ① ………………………2分
. ∵ , ② ………………………3分
由①②解得 , .
∴ 椭圆 的方程为 . ………………………4分
（2）解法1：设点 ，点 ，
由 及椭圆 关于原点对称可得 ，
∴ ， ，
， .
由 , 得 ， ……………………5分
即 . ①
同理, 由 , 得 . ② ……………6分
① ②得 . ③ ………………………7分
由于点 在椭圆 上, 则 ，得 ,
代入③式得 .
当 时，有 ，
当 ，则点 或 ,此时点 对应的坐标分别为 或
，其坐标也满足方程 . ………………………8分
当点 与点 重合时，即点 ，由②得 ，
解方程组 得点 的坐标为 或 .
同理, 当点 与点 重合时，可得点 的坐标为 或 .
∴点 的轨迹方程为 , 除去四个点 , , ,
. ………………………9分
解法2：设点 ，点 ，
由 及椭圆 关于原点对称可得 ，
∵ ， ，
∴ ， .
∴ ，① ……………………5分
. ② ……………………6分
① ② 得 . (*) ………………………7分
∵ 点 在椭圆 上, ∴ ，得 ,
代入(*)式得 ，即 ,
化简得 .
若点 或 , 此时点 对应的坐标分别为 或
，其坐标也满足方程 . ………………………8分
当点 与点 重合时，即点 ，由②得 ，
解方程组 得点 的坐标为 或 .
同理, 当点 与点 重合时，可得点 的坐标为 或 .
∴点 的轨迹方程为 , 除去四个点 , , ,
. ………………………9分
(3) 解法１：点 到直线 的距离为 .
△ 的面积为 ………………………10分
. ………………………11分
而 （当且仅当 时等号成立）
∴ . ……12分
当且仅当 时, 等号成立.
由 解得 或 ………………………13分
∴△ 的面积最大值为 , 此时,点 的坐标为 或 .…14分
解法２：由于 ，
故当点 到直线 的距离最大时，△ 的面积最大． ………………………10分
设与直线 平行的直线为 ，
由 消去 ，得 ，
由 ，解得 ． ………………………11分
若 ，则 ， ；若 ，则 ， ． …12分
故当点 的坐标为 或 时，△ 的面积最大，其值为
． ………………………14分
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于 ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时， . …………………1分
，当 时， .
………………………2分
∵ ，
∴ ， .
由于 ，结合题意，可知，
方程 的两根是 ， ， ………………………3分
故 ， . ………………………4分
∴ .
∴ . ………………………5分
而方程 的一个根在区间 上，另一个根在区间 上.
令 ，
则 ………………………6分
即 解得 ………………………7分
∴ . ………………………8分
∴ ， .
求 的取值范围的其它解法：
另法1：由 ，得 ， ………………………6分
∵ ，
∴ ． ………………………７分
∵ ，
∴ ． ………………………8分
另法2：设 ， ，
则 ， ………………………6分
故函数 在区间 上单调递减．
∴ ． ………………………７分
∴ ． ………………………8分
（2）解：由（1）得 ，
则 . ………………………9分
∵ ，
∴二次函数 的开口向下，对称轴 .
故函数 在区间 上单调递减. ………………………10分
又 ， ………………………11分
∴当 时， .
∴函数 在区间 上单调递减. ………………………12分
∴函数 的最大值为 ，最小值为 .
………………………14分
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