南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数 学
一、 填空题
1、函数 的最小正周期为 。
2、已知复数 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位
于第 象限。
3、右图是一个算法流程图，如果输入 的值是 ，则输出 的值是 。
4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重， 所得数据均在区间[96，106]中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区[100，104]上的产品件数是 。
若红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 。
6、如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若 （ ），则
7、已知平面α，β，直线 ，给出下列命题：
①若 ， ，则 ，②若 ， ，则 ，③若 ，则 ，④若 ， ，则 .
其中是真命题的是 。（填写所有真命题的序号）。
8、如图，在 中，D是BC上的一点。已知 ，
则AB= 。
9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C： 的焦点为F，定点 ，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= 。
10、记等差数列 的前n项和为 ，已知 ，且数列 也为等差数列，
则 = 。
11、已知知函数 ， ，则不等式 的解集是 。
12、在平面直角坐标系 中，已知⊙Ｃ： ，Ａ为⊙Ｃ与x负半轴的交点，过A作⊙Ｃ的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为 。
13、已知 均为锐角，且 ，则 的最大值是 。
14、已知函数 ，当 时，关于 的方程 的所有解的和为 。
二、解答题
15、在 中，角A、B、C的对边分别为 .已知 .
(1)若 ,求 的面积；(2)设向量 ， ，且 ，求 的值。
16、如图，在四棱锥P—ABCD中， ， ， ， .（1）求证： 平面 ；（2）若M为线段PA的中点，且过 三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。
17．右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）。过O作 ，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知 （单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位： ）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设 ，将S表示成 的函数；
(ii)设 ，将S表示成 的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
18、如图，在平面直角坐标系 中，椭圆E： 的离心率为 ，直线l： 与椭圆E相交于A，B两点， ，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.
（1）求 的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。
19、已知函数 ，其中 为常数.
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程.
(2)若 ,求证： 有且仅有两个零点；
（3）若 为整数，且当 时， 恒成立，求 的最大值。
20．给定一个数列 ，在这个数列里，任取 项，并且不改变它们在数列 中的先后次序，得到的数列 的一个 阶子数列。
已知数列 的通项公式为 ，等差数列 ， ， 是数列 的一个3子阶数列。
（1） 求 的值；
（2） 等差数列 是 的一个 阶子数列，且
，求证：
（3） 等比数列 是 的一个 阶子数列，
求证：
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数学附加题
21、选做题
A，选修4-1；几何证明选讲
如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF||BC
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵 ，A的逆矩阵
（1） 求a,b的值； （2）求A的特征值。
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C： ，直线l： .设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。
D．选修4-5：不行等式选讲
已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥8
22、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。
23、（本小题满分10分）
已知 ，定义
（1） 记 ，求 的值；
（2）记 ，求 所有可能值的集合。
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数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2．一 3．－2 4．55 5．78
6．34 7．③④ 8．263 9．13 10．50
11．(1，2) 12． 2 13．24 14．10000
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝35．
（1）若CBCA＝92，求△ABC的面积；
（2）设向量x＝(2sinB2，3)，y＝(cosB，cosB2)，且x∥y，求sin(B－A)的值．
解：（1）由CB→•CA→＝92，得abcosC＝92．
又因为cosC＝35，所以ab＝92cosC＝152． …………………… 2分
又C为△ABC的内角，所以sinC＝45． …………………… 4分
所以△ABC的面积S＝12absinC＝3． …………………… 6分
（2）因为x//y，所以2sinB2cosB2＝3cosB，即sinB＝3cosB． ………………… 8分
因为cosB≠0，所以tanB＝3．
因为B为三角形的内角，所以B＝π3． ………………… 10分
所以A＋C＝2π3，所以A＝2π3－C．
所以sin(B－A)＝sin(π3－A)＝sin(C－π3)
＝12sinC－32cosC＝12×45－32×35
＝4－3310． ………………… 14分
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中， AD＝CD＝12AB， AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．
证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．
因为AD＝CD＝12AB，所以CD＝1，AB＝2．
因为ADC＝90，所以AC＝2，CAB＝45．
在△ABC中，由余弦定理得BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2．
所以BCAC． …………………… 3分
因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC． …………………… 5分
因为PC平面PAC，AC平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC平面PAC． …………………… 7分
（2）如图，因为AB∥DC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN． …………………… 9分
因为AB平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN＝MN，
所以AB∥MN． …………………… 12分
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，
即PN：PB的值为12． …………………… 14分
17．（本小题满分14分）
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；
(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？
解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．
(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．
即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝720．
………… 4分
(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．
在Rt△ONF中，NF＝OF2－ON2＝100－(x＋3.5)2＝3514－7x－x2．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝351－28x－4x2，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x351－28x－4x2．
即所求函数关系是S＝x351－28x－4x2，0＜x＜6.5． ………… 8分
（2）方法一：选择(i)中的函数模型：
令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，
则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分
由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝45，或cosθ＝－58．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝45．
设cosα＝45，且α为锐角，
则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝45时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分
方法二：选择(ii)中的函数模型：
因为S＝x2(351－28x－4x2) ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，
则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分
因为当0＜x＜92时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当92＜x＜132时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝92时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) 的离心率为22，直线l：y＝12x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝25．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
解：（1）因为e＝ca＝22，所以c2＝12a2，即a2－b2＝12a2，所以a2＝2b2．…… 2分
故椭圆方程为x22b2＋y2b2＝1．
由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．
由 y＝12x， x22b2＋y2b2＝1，解得A(233b，33b)．
又AB＝25，所以OA＝5，即43b2＋13b2＝5，解得b2＝3．
故a＝6，b＝3． ……………… 5分
（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 x26＋y23＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，
显然k1≠k2．
从而k1 •kCB＝y0－1x0－2•y0＋1x0＋2＝y02－1x02－4＝3(1－x026)－1x02－4＝2－x022x02－4＝－12．
所以kCB＝－12k1． …………………… 8分
同理kDB＝－12k2．
于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－12k1(x＋2)．
由y＋1＝－12k1(x＋2)，y－1＝k2(x－2)，解得x＝4k1k2－4k1－22k1k2＋1，y＝－2k1k2－4k2＋12k1k2＋1．
从而点N的坐标为(4k1k2－4k1－22k1k2＋1，－2k1k2－4k2＋12k1k2＋1)．
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(4k1k2－4k2－22k1k2＋1，－2k1k2－4k1＋12k1k2＋1)．
………… 11分
所以kMN＝－2k1k2－4k2＋12k1k2＋1－－2k1k2－4k1＋12k1k2＋14k1k2－4k1－22k1k2＋1－4k1k2－4k2－22k1k2＋1 ＝4(k1－k2)4(k2－k1)＝－1．
即直线MN的斜率为定值－1． ……… 14分
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．
仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－12k2．
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－12k2(x＋2)，它们交点M(2，－1－2k2)．
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－2k2，－1)，
从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ………… 16分
方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 x26＋y23＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．
显然k1≠k2．
直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．
由y＝k1x＋(1－2k1)，x26＋y23＝1得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．
设点C的坐标为(x1，y1)，则2•x1＝2(4k12－4k1－2)1＋2k12，从而x1＝4k12－4k1－22k12＋1．
所以C(4k12－4k1－22k12＋1，－2k12－4k1＋12k12＋1)．
又B(－2，－1)，
所以kBC＝－2k12－4k1＋12k12＋1＋14k12－4k1－22k12＋1＋2＝－12k1． ……………… 8分
所以直线BC的方程为y＋1＝－12k1(x＋2)．
又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．
由y＋1＝－12k1(x＋2)，y－1＝k2(x－2)，解得x＝4k1k2－4k1－22k1k2＋1，y＝－2k1k2－4k2＋12k1k2＋1．
从而点N的坐标为(4k1k2－4k1－22k1k2＋1，－2k1k2－4k2＋12k1k2＋1)．
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(4k1k2－4k2－22k1k2＋1，－2k1k2－4k1＋12k1k2＋1)．
……… 11分
所以kMN＝－2k1k2－4k2＋12k1k2＋1－－2k1k2－4k1＋12k1k2＋14k1k2－4k1－22k1k2＋1－4k1k2－4k2－22k1k2＋1 ＝4(k1－k2)4(k2－k1)＝－1．
即直线MN的斜率为定值－1． ……………… 14分
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．
仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－12k2．
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－12k2(x＋2)，它们交点M(2，－1－2k2)．
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－2k2，－1)，
从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ……………… 16分
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝1＋lnx－k(x－2)x，其中k为常数．
（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；
（2）若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；
（3）若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．
（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）
解：（1）当k＝0时，f(x)＝1＋lnx．
因为f (x)＝1x，从而f (1)＝1．
又f (1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程y－1＝x－1，
即x－y＝0． ……… 3分
（2）当k＝5时，f(x)＝lnx＋10x－4．
因为f (x)＝x－10x2，从而
当x∈(0，10)，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝10时，f(x)有极小值． ……………… 5分
因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点．
因为f(e4)＝4＋10e4－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．
从而f(x)有两个不同的零点． …………… 8分
（3）方法一：由题意知，1+lnx－k(x－2)x＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
即k＜x＋xlnxx－2对x∈(2，＋∞)恒成立．
令h(x)＝x＋xlnxx－2，则h(x)＝x－2lnx－4(x－2)2．
设v(x)＝x－2lnx－4，则v(x)＝x－2x．
当x∈(2，＋∞)时，v(x)＞0，所以v(x)在(2，＋∞)为增函数．
因为v(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v(9)＝5－2ln9＞0，
所以存在x0∈(8，9)，v(x0)＝0，即x0－2lnx0－4＝0．
当x∈(2，x0)时，h(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)单调递增．
所以当x＝x0时，h(x)的最小值h(x0)＝x0＋x0lnx0x0－2．
因为lnx0＝x0－42，所以h(x0)＝x02∈(4，4.5)．
故所求的整数k的最大值为4． …………… 16分
方法二：由题意知，1+lnx－k(x－2)x＞0对x∈(2，＋∞)恒成立．
f(x)＝1+lnx－k(x－2)x，f (x)＝x－2kx2．
①当2k≤2，即k≤1时，f(x)＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增．
而f(2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．
②当2k＞2，即k＞1时，
当x∈(2，2k)时，f ′(x)＜0， f(x)单调递减，当x∈(2k，＋∞)，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝2k时，f(x)有最小值f(2k)＝2＋ln2k－k．
从而f(x)＞0在x∈(2，＋∞)恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．
20．（本小题满分16分）
给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．
已知数列{an}的通项公式为an＝1n＋a (n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，且b1＝1k (k为常数，
k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1；
（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，
求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－12m－1．
解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．
又因为a2＝12＋a，a3＝13＋a， a6＝16＋a，
代入得12＋a－13＋a＝13＋a－16＋a，解得a＝0． …………… 3分
（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．
因为b1＝1k，所以b2≤1k＋1，
从而d＝b2－b1≤ 1k＋1－1k＝－1k(k＋1)． ……………… 6分
所以bm＝b1＋(m－1)d≤1k－m－1k(k＋1)．
又因为bm＞0，所以1k－m－1k(k＋1)＞0．
即m－1＜k＋1．
所以m＜k＋2．
又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1． …………… 9分
（3）设c1＝1t (t∈N*)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．
因为c2≤1t＋1，所以q＝c2c1≤tt＋1．
从而cn＝c1qn－1≤1ttt＋1n－1（1≤n≤m，n∈N*）．
所以c1＋c2＋…＋cm≤1t＋1ttt＋11＋1ttt＋12＋…＋1ttt＋1m－1
＝t＋1t[1－tt＋1m]
＝t＋1t－tt＋1m－1． ………… 13分
设函数f(x)＝x－1xm－1，（m≥3，m∈N*）．
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－1xm－1为单调增函数．
因为当t∈N*，所以1＜t＋1t≤2． 所以f(t＋1t)≤2－12m－1．
即 c1＋c2＋…＋cm≤2－12m－1． ……… 16分
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数学附加题参考答案
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．
证明：如图，连接ED．
因为圆与BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD．…………………… 4分
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC．
又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF．
所以EF∥BC． …………………… 10分
B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝302a， A的逆矩阵A－1＝13 0 b 1 ．
（1）求a，b的值；
（2）求A的特征值．
解：（1）因为A A－1＝302a 13 0 b 1＝ 1 023＋ab a＝1001．
所以a＝1，23＋ab＝0．
解得a＝1，b＝－23． …………………… 5分
（2）由（1）得A＝3021，
则A的特征多项式f(λ)＝λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3． ………………… 10分
C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x＝s，y＝s2(s为参数），直线l：x＝2＋110t，y＝4＋310t（t为参数）．设C与l交于A，B两点，求线段AB的长度．
解：由x＝s，y＝s2消去s得曲线C的普通方程为y＝x2；
由x＝2＋110t，y＝4＋310t消去t得直线l的普通方程为y＝3x－2．…………… 5分
联立直线方程与曲线C的方程，即y＝x2，y＝3x－2，
解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)．
所以线段AB的长度为(2－1)2＋(4－1)2＝10． …………… 10分
D．选修4－5：不等式选讲
已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥8．
证明：因为x为正数，所以1＋x≥2x．
同理 1＋y≥2y，
1＋z≥2z．
所以(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥2x•2y•2z＝8xyz．
因为xyz＝1， 所以(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥8． …… 10分
22．（本小题满分10分）
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23．假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的分布列及数学期望．
解：（1）记甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜分别为事件A，B，C．
由题意得P(A)＝233＝827，
P(B)＝C23232•13•23＝827，
P(C)＝ C24232•132•12＝427． …………… 5分
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P(X＝3)＝P(A)＋P(B)＝1627； P(X＝2)＝P(C)＝427，
P(X＝1)＝C24232•132•12＝427， P(X＝0)＝1－P(1≤X≤3)＝19．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 19
427
427
1627
从而E(X)＝0×19＋1×427＋2×427＋3×1627＝209．
答：甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率分别为827，827，427．甲队得分X的数学期望为209． …………………… 10分
23．（本小题满分10分）
已知m，n∈N*，定义fn(m)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m!．
（1）记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值；
（2）记bm＝(－1)mmfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合．
解：（1）由题意知，fn(m)＝0，m≥n＋1，Cmn，1≤m≤n．
所以am＝0，m≥7，Cm6，1≤m≤6． ………………… 2分
所以a1＋a2＋…＋a12＝C16＋C26＋…＋C66＝63． ………………… 4分
（2）当n＝1时， bm＝(－1)mmf1(m)＝0， m≥2，－1，m＝1．则b1＋b2＝－1．………… 6分
当n≥2时，bm＝0，m≥n＋1，(－1)mmCmn，1≤m≤n．
又mCmn＝m•n!m!(n－m)!＝n•(n－1)!(m－1)!(n－m)!＝nCm－1n－1，
所以b1+b2＋…＋b2n＝n[－C0n－1＋C1n－1－C2n－1＋C3n－1＋…＋(－1)nCn－1n－1]＝0．
所以b1+b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1，0}． ………… 10分
点击下载：江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试数学试题
