湖南衡阳2015高三第二次联考数学文
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）
1. 命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 （ 为虚数单位）， 的共轭复数为 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 、 两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 如下表：
则这四位同学的试验结果能体现出 、 两变量有更强的线性相关性的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 下列函数中，图象的一部分如图1所示的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知等差数列 满足 ， （ ）， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在三棱锥 中，侧棱 、 、 两两垂直，并且 、 、 的面积分别为 、 、 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图2所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图， 表示估计的结果，则图中空白框内应填入（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线 （ ， ）与抛物线 （ ）有一个共同的焦点 ，点 是双曲线与抛物线的一个交点，若 ，则此双曲线的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
9. 下列不等式对任意的 恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，若 . . 互不相等，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11. 若集合 ， ，则集合 的子集有 个.
12. 已知曲线 的极坐标方程为 （ ， ），曲线 在点 处的切线为 ，若以极点为坐标原点，以极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，则 的直角坐标方程为 .
13. 已知 中，点 、 、 的坐标依次是 、 、 ， 边上的高为 ，则 的坐标是 .
14. 若 ， 满足 ，则 的最大值为 .
15. 若对任意的 ，均有 成立，则称函数 为函数 到函数 在区间 上的“折中函数”. 已知函数 ， ， ，且 是 到 在区间 上的“折中函数”，则实数 的值构成的集合是 .
三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）
16. （本小题满分12分）如图 ，某污水处理厂要在一正方形污水处理池 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形 ，其中 位于边 上， 位于边 上. 已知 米， ，设 ，记 ，当 越大，则污水净化效果越好.
求 关于 的函数解析式，并求定义域；
求 的最大值，并指出等号成立条件？
17. （本小题满分12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽数之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到资料如下表：
从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为 ， ，求事件“ ， 均不小于25”的概率；
请根据3月2日至3月4日的数据，求出 关于 的线性回归方程 ；
现选取3月1日与3月5日的两组数据作为检验数据，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问 中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：回归直线的方程是 ，其中 ， ）
18. （本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图4所示，其中俯视图中 . 为侧棱 的中点.
求证： 平面 ；
若 为侧棱 上的一点，且 ，则 为何值时， 平面 ？并求此时几何体 的体积.
19. （本小题满分13分）如图5，曲线 是以原点 为中心， ， 为焦点的椭圆的一部分. 曲线 是以 为顶点， 为焦点的抛物线的一部分， 是曲线 和 的交点，且 为钝角，若 ， .
求曲线 和 的方程；
设点 是 上一点，若 ，求 的面积.
20. （本小题满分13分）已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 （ ， ）.
求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
设 ，求数列 的前 项和 ；
设 （ 为非零整数， ），是否存在确定 的值，使得对任意 ，有 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分13分）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， （其中 是自然对数的底， ）.
求 的解析式；
设 ，求证：当 时，且 ， 恒成立；
是否存在实数 ，使得当 时， 的最小值是 ？如果存在，求出实数 的值；如果不存在，请说明理由.
（参考公式： （ ））
参考答案
一. 选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D A B C A C C
二. 填空题：本题有5小题，每小题5分，共25分。
11. ；12. ；13. ；14. ；15.
三. 解答题：本题有6小题，共75分，解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤。
16. 解：（1）因为 , ………………………2分
………………………4分
…………………………5分
， ……………………6分
（2） --9分
当 时，即 时 …………………11分
答：当 时， 的最大值为3. ……………………12分
17. 解：（1） 的所有取值情况有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），（25,16），（30,26），（30,16），（26,16），
即基本事件总数为10. ……………2分
设“m，n均不小于25”为事件A，
则事件A包含的基本事件为（25,30），（25,26），（30,26）. ……………………4分
所以 ，故事件A的概率为 . ………………5分
（2）由数据，求得 ， ， .
， ， .
由公式，求得 ，……………………8分
. ………………………9分
所以y关于x的线性回归方程为 . ……………………10分
（3）当x=10时， ，|22－23|＜2；
同样，当x=8时， ，|17－16|＜2.
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的. ………………………12分
18. （1）证明：由三视图可知该四棱锥的底面ABCD是菱形，且有一角为 ，边长为2，锥体高度为1。………………………1分
设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，………………………2分
OE//PB，EO 面EAC，PB 面EAC， PB//面AEC………………………5分
（2）解：过O作OF PA垂足为F
在Rt△POA中，PO=1，AO= ，PA=2，PO2=PF•PA，2PF=1
，…………………7分
在菱形中BD AC，又因为PO 面ABCD，所以BD PO，
及BD 面APO，所以BD PA,又OF PA，从而PA 平面BDF…………………9分
当 时，在△POA中过F作FH//PO，则FH 面BCD，FH=
. …………………12分
19. 解：（1）设椭圆方程为 ＋ ＝1（a>b>0），则2a＝|AF1|＋|AF2|＝ ＋ ＝6，得a＝3. …………………1分
设A（x，y），F1（－c,0），F2（c,0），
则（x＋c）2＋y2＝（ ）2，（x－c）2＋y2＝（ ）2，两式相减得xc＝ …………2分
由抛物线的定义可知|AF2|＝x＋c＝ ，…………………3分
则c＝1，x＝ 或x＝1，c＝ . 又∠AF2F1为钝角，
则x＝1，c＝ 不合题意，舍去. 当c＝1时，b＝2 ，…………………5分
所以曲线C1的方程为 ＋ ＝1（－3≤x≤ ），…………………6分
曲线C2的方程为y2＝4x（0≤x≤ ）. …………………7分
（2）过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1⊥l于点C1，依题意知|CC1|＝|CF2|.
在Rt△CC1F1中，|CF1|＝ |CF2|＝ |CC1|，所以∠C1CF1＝45°，
所以∠CF1F2＝∠C1CF1＝45°. …………………9分
在△CF1F2中，设|CF2|＝r，则|CF1|＝ r，|F1F2|＝2.
由余弦定理得22＋（ r）2－2×2× rcos45°＝r2，
解得r＝2，…………………11分
所以△CF1F2的面积S ＝ |F1F2|•|CF1|sin45°
＝ ×2×2 sin45°＝2. …………………13分
20. （1）证明：由已知， ,
即 （n≥2，n∈N*），且 . …………………1分
∴数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
∴ . …………………3分
（2）解：由（1）知 ，…………………4分
设它的前n项和为
∴
两式相减可得：
所以 …………………7分
（3）解：∵ ，∴ ，…………………8分
要使 恒成立，
则 恒成立
∴ 恒成立，
∴ 恒成立. …………………10分
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜ 恒成立，
当且仅当n=1时， 有最小值为1，∴λ＜1. …………………11分
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣ 恒成立，
当且仅当n=2时，﹣ 有最大值﹣2，
∴λ＞﹣2. 即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1. …………………12分
综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有 . …………………13分
21. （1）解：设 ，则 ，所以
又因为 是定义在 上的奇函数，
所以
故函数 的解析式为 …………………2分
（2）证明：当 且 时，
，设
因为 ，
所以当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增，
所以 …………………4分
又因为 ，
所以当 时， ，此时 单调递减，
所以 …………………5分
所以当 时， 即 …………………6分
（3）解：假设存在实数 ，使得当 时， 有最小值是3，
因为 …………………7分
（ⅰ）当 ， 时， . 在区间 上单调递增，
，不满足最小值是３…………………8分
（ⅱ）当 ， 时， ， 在区间 上单调递增，
，也不满足最小值是３…………………9分
（ⅲ）当 ，由于 ，则 ，
故函数 是 上的增函数.
所以 ，解得 （舍去）…………………10分
（ⅳ）当 时，
则当 时， ，此时函数 是减函数；
当 时， ，此时函数 是增函数.
所以 ，解得 …………………12分
综上可知，存在实数 ，使得当 时， 有最小值３……………13分
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