内江市高中2015届第四次模拟考试试题
数学（理工类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3、一几何体的三视图如 图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 ，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4、如图 ，某地一天中 时至 时的温度变化曲线近似满足函数 （其中 ， ），则估计中午 时的温度近似为（ ）
A． B． C． D．
5、执行如图 所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
6、若 ， ， ， ， ， 为正实数，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7、已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和 的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A． B． C． D．
9、已知二面角 的平面角为 ， ， ， ， 为垂足，且 ， ，设 、 到二面角的棱 的距离分别为 、 ，当 变化时，点 的轨迹是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
10、已知定义在 上的函数 满足：① ；②对所有 ， ，且 ，有 ．若对所有 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11、已知 展开式中所有项的二项式系数和为 ，则其展开式中的常数项为 ．
12、直角坐标系 中， ， 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 中，若 ， ，且 ，则 的值是 ．
13、若 ，则 ．
14、已知 ，则函数 的零点的个数为 ．
15、下图展示了一个由区间 到实数集 的映射过程：区间 中的实数 对应数轴上的点 ，如图 ；将线段 围成一个圆，使两端点 、 恰好重合，如图 ；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 轴上，点 的坐标为 ，如图 ．图 中直线 与 轴交于点 ，则 的象就是 ，记作 ．
方程 的解是 ；
下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号）
① ；② 是奇函数；③ 在定义域上单调递增；④ 的图象关于点 对称；⑤ 的解集是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知向量 ， ．
当 时，求 的值；
设函数 ，已知在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 ， ， ，求 （ ）的取值范围．
17、（本小题满分12分）某品牌汽车的 店对最近100位采用分期付款的购车者人数进行统计，统计结果如下表所示：
已知分3期付款的频率为 ，并且 店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为 万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率．
求事件 “购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
用 表示销售一辆该品牌汽车的利润，求 的分布列及数学期望 ．
18、（本小题满分12分）在三棱柱 中，已知 ， ， 在底面 的射影是线段 的中点 ．
证明：在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，并求出 的长；
求二面角 的余弦值．
19、（本小题满分12分）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，已知 ，且对于任意的 有 ， ， 成等差数列．
求数列 的通项公式；
已知 （ ），记 ，若 对于 恒成立，求实数 的范围．
20、（本小题满分13分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的离心率 ，直线 （ ）过椭圆 的右焦点 ，且交椭圆 于 ， 两点．
求椭圆 的标准方程；
已知点 ，连结 ，过点 作垂直于 轴的直线 ，设直线 与直线 交于点 ，试探索当 变化时，是否存在一条定直线 ，使得点 恒在直线 上？若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数 ， ，其导函数记为 ，且满足 ， ， ， 为常数， ．
试求 的值；
记函数 ， ，若 的最小值为 ，求实数 的值；
对于 中的 ，设函数 ， ， （ ）是函数 图象上两点，若 ，试判断 ， ， 的大小，并加以证明．
内江市高中2015届第四次模拟考试试题
数学（理工类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1、D 2、C 3、B 4、B 5、B 6、A 7、C 8、C 9、D 10、B
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