2015届高三年级上海市八校联合调研考试
（理科）数学试卷 2015.3
考生注意：
1、每位考生应同时收到试卷与答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3、本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1、函数 的最小正周期是 ；
2、已知线性方程组的增广矩阵为 ，若此方程组无实数解，则实数 的值为 ；
3、若直线 的方向向量是直线 的法向量，则实数 的值等于 ；
4、若函数 的定义域与值域都是 ，那么实数 的值为 ；
5、已知点 在焦点为 的椭圆 上，若 ，则 的值等于 ；
6、某县共有 个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有 个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 ；
7、已知点 ， 是抛物线 的焦点，若点 在抛物线上运动，当 取最小值时，点 的坐标为 ；
8、 ；
9、某企业最近四年的年利润呈上升趋势，通过统计，前三年的年利润增长数相同，后两年的年利润增长率相同，已知第一年的年利润为 千万元，第四年的年利润为 千万元，则该企业这四年的平均年利润为 千万元。
10、已知直线 的斜率为 ，经过点 ， 与 的距离为 ，若数列 是无穷等差数列，则 的取值范围是 ；
11、从 名运动员中选出 名运动员组成接力队，参加 米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）；
12、如图：边长为 的正方形 的中心为 ，以 为圆心， 为半径作圆。点 是圆 上任意一点，点 是边 上的任意一点（包括端点），则 的取值范围为 ；
13、一质点从正四面体 的顶点 出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动。第1次运动经过棱 由 到 ，第2次运动经过棱 由 到 ，第3次运动经过棱 由 到 ，第4次经过棱 由 到 。对于 ，第 次运动回到点 ，第 次运动经过的棱与 次运动经过的棱异面，第 次运动经过的棱与第 次运动经过的棱异面。按此运动规律，质点经过 次运动到达的点为 ；
14、对于函数 定义域 内的值 ，若对于任意的 ，恒有 （或 ）成立，则称 是函数 的极值点。若函数 在区间 内恰有一个极值点，则 的取值范围为 。
二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、“ 且 ”是“ ”的 （ ）
A、充分非必要条件； B、必要非充分条件；
C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件。
16、已知底面边长为 ，高为 的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A、 ； B、 ； C、 ； D、 。
17、已知 是虚数单位）， 的展开式中系数为实数的项有（ ）
A、671项； B、672项； C、673项； D、674项。
18、定义在 上的函数 满足 ，且当 时， 。则 （ ）
A、 ； B、 ； C、 ； D、 。
三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
19、（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）
如图：将圆柱的侧面沿母线 展开，得到一个长为 ，宽 为 的矩形。
（1）求此圆柱的体积；
（2）由点 拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 ，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。
20、（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）
已知 是虚数单位）。
（1）当 且 时，求 的值；
（2）设 ，求 的最大值与最小值及相应的 值。
21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在数列 中， 。
（1）若数列 满足 ，求证：数列 是等比数列；
（2）设 ，记 ，求使 的最小正整数 的值。
22、（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知射线 ，直线 过点 交 于点 ，交 于点 。
（1）当 时，求 中点 的轨迹 的方程；
（2）当 且 是坐标原点）面积最小时，求直线 的方程；
（3）设 的最小值为 ，求 的值域。
23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
设函数 。
（1）当 时，对于一切 ，函数 在区间 内总存在唯一零点，求 的取值范围；
（2）若 在区间 上是单调函数，求 的取值范围；
（3）当 时，函数 在区间 内的零点为 ，判断数列 的增减性，并说明理由。
数学(理科)参考答案与评分建议
一、填空题：
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ；
8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ；
13、 ； 14、 。
二、选择题：
15、 ； 16、 ； 17、 ； 18、 。
三、解答题：
19、（1）设圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，即 ---------2分
--------5分
（2）设 中点为 ，侧面展开图矩形为 ， 中点为 。则绳长的最小值即为侧面展开图中的 。 -------7分
。 -------10分
所以绳长的最小值为 。 -------12分
20、（1）由 ，得 -------2分
即 -------3分
因为 ，则 ，所以 -------4分
得： 或 。 --------5分
（2）
--------7分
--------9分
-------10分
当 ，即 时， -------11分
当 ，即 时， 。 --------12分
21、（1）因为 ，所以 ，代入 得
------2分
化简得： ------4分
又 ------5分
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列。 -------6分
（2）由（1）得 ，所以 ------8分
由 ，得 -------9分
------10分
所以
。 -------12分
若 ，则 ，即 ，得
所以满足条件的最小正整数 等于 。 -------14分
22、解法一：
（1）当 时， ，设 ， ，因为 是 中点，所以 ------2分
因为 三点共线，所以 ，由 ，则有 ，即 ------4分
代入得 点轨迹方程为 。 ------6分
（2）当 时， ， ， ， -------8分
由 共线得 ------9分
，当 时等号成立， ------10分
此时 ，直线 方程为 。 ------12分
（3）由 三点共线得： ，
即 ----14分
---16分
因为 ，且 ，所以上式
所以 ， ，所以 值域为 。 ---18分
解法二：
（1）由题知直线 的斜率 存在，且 。当 时，设直线
由 ，同理得 ------3分
设 ，则
消去 得 轨迹方程为 。 ------6分
（2）当 时，设直线
由 ，同理得 ------8分
----9分
设 ，则 ，所以 ，当 ，即 时， 最小值为 ，此时 ，所以直线 。 ------12分
（3）设
由 ，则理得
-----14分
设 ，因为 ，所以 ，
------16分
所以 ， ，所以 值域为 。 -----18分
23、（1）当 时， 在区间 内有唯一零点，
因为函数 在区间 上是增函数，所以 且 ---2分
即 且 ，由 对于 恒成立，得
所以 的取值范围为 。 ----4分
（2） 在区间 上是单调函数，设 ，
-----7分
由题知 或 对于 恒成立 ----9分
因为 ，所以 或 。 ---12分
（3） 时， ， ， 在区间 上的零点是 ，所以 ----14分
由 知， ，所以 ，
设 在区间 上的零点为 ，所以 ，即
-----16分
又函数 在区间 上是增函数，所以
即数列 是递增数列。 -----18分
点击下载：上海市八校2015届高三3月联考数学理试题
